第5章自适应模糊控制 智能控制教案

（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 gx
关于 x 1 和 x 2 的导数边界，即
g 和
x1
g 。同时，在
x2
设计过程中，还必须知道 gx在 x(e1i1,e2 i2)
i 1 1 ,2 , ,N 1 , i 2 1 ,2 , ,N 2 处的值。
5.1.3 仿真实例 实例1 针对一维函数 gx，设计一个模糊系统 f x，使
(5.6)
二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。x 1 和 x 2 的隶属 函数及 gx 的逼近效果如图5-4至5-7所示
Membership function
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x1
图5-4 x 1 的隶属函数
式 中 1 ， 2 是 正 常 数 ，P 为 一 个 正 定 矩 阵 且 满 足 Lyapunov方程
ΛTPPΛQ
（5.28）
其中 Q 是一个任意的 nn正定矩阵，Λ 由式（5.20）
给出。
取 ， ， 。 V1
1 2
eT
Pe
1
V221
f
T
f
f
f
1
V322
T gg
g g
之一致的逼近定义在 U3, 3上的连续函数 gxsix n，
所需精度为0.2 ，即 sugp xfx 。 x U
由于
g cosx 1 ， 由 式 （ 5.3 ） 可
x
知，gf
g hh，故取
x
h0.2
满足精度要求。取
h0.2，
则模糊集的个数为
N
L h
131。在
U3,3上定义31个具有
三角形隶属函数的模糊集 A j，如图5-1所示。所设计的
即：
Ni
Li hi
1
hi
Li Ni 1
由该定理可得到以下结论：
（1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意
给成定立的，从0而，保都证可将shu 1g 和xp h 2 选fx 得 足g 够小f ， 使。xg1
h1
g x2
h2
x U
（2）通过对每个 x i 定义更多的模糊集可以得到更为准确
的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。
令 ， M b f fT ( x ) g g T ( x ) u
则（5.26）式变为：
e Λe M
V1
1eTPe1eTPe1
2
2
2
eTΛT
MT
Pe1eTPΛeM
2
1eT ΛTPPΛe1MTPe1eTPM
2
2
2
1eTQe1 MTPeeTPM1eTQeeTPM
2
2
2
即 V 1 1 2 e T Q e T P e b f fT e T P x b g g * T e T P x u b
其中 x 1 和 x 2分别为摆角和摆速，g9.8m/s2，mc 1kg 为小车质
量，m为摆杆质量，m0.1kg，l 为摆长的一半，l 0.5m，u 为控制输入。
位置指令为 xdt0.1sin t。取以下5种隶属函数：
N x i M e x x i / p 6 / / 2 24
令：
0 1 0 0 0 0
0
0
1 0 0
0
,
Λ
0
0
0 0 0
1
kn kn1 k1
0
0
b
0
1
（5.20）
则动态方程（5.19）可写为向量形式：
e Λ b f ˆ ( x e f ) f ( x ) g ˆ ( x g ) g ( x ) u (5.21)
该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数 f 、 g 之间的
关系。自适应律的任务是为 f 、 g 确定一个调节机理，
使得跟踪误差
e和参数误差 f
f
、
g
g
达到最小。
定义Lyapunov函数
(5.27) V 1 2 e T P 2 1 e 1f fTf f 2 1 2g g Tg g
糊系统 f x
N1 N2
y ( i1i2
i1 A1
(x1)
i2 A2
(x2))
f(x) i11 i21 N1 N2
( i1 A1
(x1)Ai22
(x2))
i11 i21
5.1.2 模糊系统的逼近精度
（5.2）
万能逼近定理 令f x为式（5.2）中的二维模糊
系统，gx 为式（5.1）中的未知函数，如果 gx
Aili xi
其中 为 x Aij i x i 的隶属函数。
(5.12)
n
令
y
l1 l n f
是自由参数，放在集合
f
pi
R i1
中。引入向
量 x ，(5.12)式变为
fˆx|fT fx
其中 x为 n p i 维向量，其第 l1,ln 个元素为 i1
l1ln
n
x x p1 l11
•(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与 理想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调 整控制器的参数；
•(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控 制对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊 控制器。
步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平
均解模糊器，根据 MNN 条规则来构造模
1
2
i1
Aili
i
pn
n
ln 1 i1
Aili
xi
(5.13) (5.14)
2. 自适应模糊滑模控制器的设计
采用模糊系统逼近 f 和 g，则控制律（5.9）变为
u 1
g ˆxg
fˆxf
ym nΚ Te
(5.15)
fˆx|fT fx , g ˆx|gg Tx (5.16)
其中 x 为模糊向量，参数
在Leabharlann BaiduU , 上是连续可微的，则
1
1
12
g g
gf
x1
h1x2
h2
(5.3)
模糊系统的逼近精度为：
h i 1 m j N i 1e a ij 1 xeij i 1 , 2
(5.4)
式中，无穷维范数 定义为 dx sudp x。
x U
由(5.4)式可知：假设 x i 的模糊集的个数为 N i ， 其变化范围的长度为 L i ，则模糊系统的逼近精度满 足
设最优参数为
* f
arg m f f isnufˆpx|x R fn
fx
(5.22)
g *arg m g g isnug ˆp x|x R g n
gx
其中 f 和 g分别为 f 和 g 的 集合。
(5.23)
定义最小逼近误差为
f ˆ x |* f f x g ˆ x |g * g x u (5.24)
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
图5-2 模糊逼近
x 10-3 5
Approaching error
0
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
图5-3 逼近误差
实例2 针对二维函数 gx ，设计一个模糊系统 f x，使
之一致的逼近定义在 U 1 ,1 1 ,1 上的连续函数
g x 0 . 5 0 . 1 2 x 1 0 . 2 x 2 0 8 . 0 x 1 x 2 6
的模糊系统，可实现V 0 。
5.2.3 仿真实例 被控对象取单级倒立摆，如图5-5所示，其动态方
程如下：
x 1 x 2
x 2 g slx i4 1 / n 3 m m 2 2 c c l2 o x o x x 1 1 s /s m s x ic 1 n /m m c m l4 /3 cm x c o 1/2 m o s x c 1 /s m m c m u
is
A li i
THEN fˆ is El1ln
其中 li 1,2, ,pi ，i1,2, ,n 。
(5.11)
采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器， 则模糊系统的输出为
fˆ x|f
p1
y l11
pn
l1ln
n
f ln1
Aili i1
xi
p1
pn
n
l11 ln1 i1
(5.8)
选择 kkn, ,k1T ，使多项式 sn k 1 sn 1 kn 的所有根 部都在复平面左半开平面上。
取控制律为
ug(1 x)fxym (n)Κ Te
(5.9)
将(5.9)代入(5.7)，得到闭环控制系统的方程：
e ( n ) k 1 e ( n 1 ) k n e 0
第5章 自适应模糊控制
• 模糊控制的突出优点是能够比较容易地将 人的控制经验溶入到控制器中，但若缺乏这样 的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。 而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制规 则，不便于控制参数的学习和调整，使得构造 具有自适应的模糊控制器较困难。
• 自适应模糊控制有两种不同的形式：
T f
和
T g
根据自适应律而
变化。
设计自适应律为：
f 1eTPb x
g 2eTPb xu
自适应模糊控制系统如图5-8所示。
(5.17) (5.18)
图5-8 自适应模糊控制系统
3. 稳定性分析
由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统的
闭环动态
e ( n ) Κ T e f ˆ x f f ( x ) g ˆ x g g ( x ) u （5.19）
式（5.21）可写为：
e Λ b f e fT ( x ) g g T ( x ) u （5.25）
将式（5.16）代入式(5.25),可得闭环动态方程：
e Λ b f ˆ x f e f ˆ x f g ˆ x g g ˆ x g u （5.26）
V 的导数为：
V2
1
1
f
f
Tf
V3
1
2
g
g*
Tg
V V 1V 2V 31 2eTQeTPb 1 1f f Tf 1eTPb (x)
1 2gg *Tg2eTPb xu
（5.29）
将 将自适应律（5.17）和（5.18）代入上式，得：
V1eTQeeTP b
2
（5.30）
由于 1eTQe0 ，通过选取最小逼近误差 非常小 2
所需精度为 0.1 。
由于 ， g x1
su0p.10.06 x2
x U
0.16
g x2
su0 p .28 0.0x 61
x U
0.34
由式（5.3）可知，取 h1 0.2 ，h2 0.2 时，有
g f 0 .1 0 6 .2 0 .3 0 4 .2 0 .1
满足精度要求。由于 L2，此时模糊集的个数为 N L111 h
Membership function
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x2
图5-5 x 2 的隶属函数
图5-6 模糊逼近
图5-7 逼近误差
5.2 间接自适应模糊控制 5.2.1 问题描述
考虑如下 n阶非线性系统：
即
x
1
和
x
分别在
2
U1,1上定义11个具有三角形隶属函
数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为：
11 11
g ei1 ,ei2
x i1
A1
x i2
A
2
f x i11 i21
11 11
x i1 A1
i2 A
x2
i11 i21
该模糊系统由 1 11112条1规则来逼近函数 gx
x n f x , x , , x n 1 g x , x , , x n 1 u (5.7) 其中 f 和 g为未知非线性函数，uRn 和 y Rn 分别为
系统的输入和输出。 设位置指令为 y m ，令
eymyymx
e e , e , , e n 1 T
(5.10)
由 的选取，可得t时 e(t)0，即系统的输出 y
渐进地收敛于理想输出 ym 。
如果非线性函数 g(x) 和 f (x)是已知的，则可以选择控
制 u来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论
设计控制器。
5.2.2 控制器的设计
如果 f x 和 gx 未知，控制律（5.9）很难实现。可 采用模糊系统 fˆx 和 gˆx代替 f x 和 gx ，实现自适应模
糊控制。
1. 基本的模糊系统
以 fˆxf 来逼近 f x为例，可用两步构造模糊系统：
步骤1：对变量
x1
( i1,2, ,n)，定义 p i 个模糊集合
A l1 1
( li 1,2, ,pi )。
步骤2：采用以下
n
p i 条模糊规则来构造模糊系统：
i1
R j :
IF x i is
A ln 1
andandx n
模糊系统为：
31
sin
ej
j A
x
f x j 1
31
j A
x
j 1
1
0.8
Membership function
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
图5-1 隶属函数
一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如 图5-2和5-3所示 ：
1
0.5
Approaching
0 -0.5