等价关系习题.doc
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习题十 :等价关系与等价类
‘‘
1.设R和R是集合A上的等价关系,用例子证明R R 不一定是等价关系。
2.试问由 4 个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少
3.给定集合S ={1,2,3,4,5},找出 S 上的等价关系R ,此关系 R 能够产生划分{{1,2},{ 3},{4, 5}}并画出关系图。
4.设R是一个二元关系,设S{a,b |对于某一c,有a, c R 且 c,b R },证
明若 R 是一个等价关系,则S 也是一个等价关系。
5.设正整数的序偶集合 A ,在 A 上定义的二元关系R 如下:x, y , u, v R, 当且仅当xv yu ,证明 R 是一个等价关系。
6.设R是集合A上的对称和传递关系,证明如果对于 A 中的每一个元素a,在A中同时也存在一个b,使a, b 在R之中,则R是一个等价关系。
7.设R1和R2是非空集合A 上的等价关系,确定下述各式,哪些是 A 上的等价关系,对不是的提供反例证明。
a)(A A) R1
b)R1 R2
c)R12
d) r (R1R2) ( 即R1 R2的自反闭包)。
8.设C* 是实数部分非零的全体复数组成的集合,C* 上关系 R定义为:( a b i ) R(c d i ) ac 0 ,证明R是等价关系,并给出关系R 的等价类的几何说明。
9.设和‘
A
‘
和诱导的等价关系,那是非空集合上的划分,并设 R 和 R 是分别由
么,细分的充要条件是R R 。
10.设R j表示I上的模j 等价关系, R k表示I上的模k等价关系,证明I/ R k细分I/ R j 当且仅当 k 是 j 的整数倍。
11. A, B 是全集 E 的子集,各命题及由这些命题构成的集合X 如下所示。
X p, q, r, s, t,u, v, w, y, z ,其中
p: ABE; q: A B B ; r:A B ; s: A c B c ; t:
A c
B ;
u: B c A c ;v: A B ; w: ABB; y: AB c ; z:
B A .
又 R 是 X 上的命题间的等价关系,求商集X/R(A c表示 A 的绝对补集)。
12. R 为集合 X 上的二元关系,X 1,2,3,4,5,6,7 ,
R1,1 , 1,2 , 2,4 , 6,3 , 6,6 , 7,1,求
(1) R 的等价闭包R(即包含 R的最小的等价关系);
(2)求X/R。
13.设 R是集合 A 上的等价关系,S 是 A 上的对称关系,试问
~~
R S S R是否是A
上的等价关系若是,请给出证明;若不是,请具体分析它具有哪些性质,并对不成立
的性质举出反例。
14.设 R 是 A 上的二元关系,定义S a, b c A, a, c R, c, b R ,证明:若R是
A 上的等价关系,则 S 也是等价关系,且 S=R。
15.设 R和 S 是集合 A 上的关系,证明或否定下面结论:
( 1)若 R,S 是传递的,则R S 传递的充分必要条件是R S S R ;
( 2)若 R,S 是等价关系,则R S是等价关系的充分必要条件是R S S R 。16.知 R,S 是集合 A 上等价关系,且商集为:A/R a,b, c , d, e, g , f ,
A / S a, c , b, d, g , f , g ,显然,R S也是等价关系,先画出R S 有向图,再写出商集 A/ R S 。
17.证明定义在实数集合R 上的关系S x, y x, y R,
x y 是整数是一个等价关
3
系。
18. 设R1是 A 上的等价关系,R2是 B 上的等价关系,A 且 B 。关系 R 满足:
x 1 , y1 , x
2,
y
2 R 当且仅当x 1 , x 2 R 1且y1 , y 2 R 2。
试证明: R是A B 上的等价关系。
19.设 N 是自然数集合,定义 N上的二元关系 R:
R x, y x N , y N , x y是偶数
(1)证明 R 是一个等价关系;
(2)求关系 R 的等价类;
(3)试设计一个从N 到 N的函数f , 使得由f诱导的等价关系就是关系R。
20. 设 R 是集合 A 上的一个具有传递和自反性质的关系,T 是 A 上的关系,使得
a, b Ta,b R且 b, a R , 证明T是一个等价关系。
21. 设 R 是集合 X 上的关系,对所有的x, y, z X 来说,如果有 xRy 和 yRz 就有zRx,则
称关系 R 是循环关系,试证明:当且仅当R 是一个等价关系, R 才是自反和循环的。
22. 设 R 是 A 上的二元关系,R1是 R的逆关系。证明: R 是传递的当且仅当R 1是传递的。
23.给定 X 1,2,3,4,5,6 ,R是X上关系,其生成矩阵如下。
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
问: ts(R) 是否为X上等价关系如是,写出商集X / ts(R) ,如不是,说明原因。( ts(R) 是R
的对称、传递闭包)
24.已知集合 X 上的二元关系 R的关系矩阵为:
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
M R 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
求( 1)M t R ;( 2)M rst R。
25.集合 A 1,2,3,4,5,6,7,8 ,R为A上二元关系,
R1,1 , 1,5 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,3 , 3,8 , 4,2 , 4,4 , 4,6 , 5,1 , 5,5 , 6,2 , 6,4 , 6,6 , 7,7 , 8,3 , 8,8。
求AR。