现代控制理论6.2 反馈控制与极点配置(优选.)

SISO系统状态反馈极点配置方法 (2/10)
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x̃, 将系统∑(A,B)变换成能控规范II形 Σ̃ (Ã, B̃) ,即有
Ã
=
T −1 c2
ATc
2
B̃
=
T −1 c2
� 由于线性变换不改变系统特征值,因此系统∑(A,B,C)的极 点并不是都能任意配置的。
� 这与前面假设矛盾,即证明被控系统∑可任意极点配置,则 是状态完全能控的。
� 故必要性得证。
状态反馈极点配置定理(10/11)
� 由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数
Gk
(s)
=
sn
+
(a1
b1sn−1 + ... + bn + kn )sn−1 + ... +
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
反馈控制与极点配置 (4/5)
� 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为:
� 给定线性定常连续系统 ẋ = Ax + Bu
确定反馈控制律
u = −Kx + v
� 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 � 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
反馈控制与极点配置 (2/5)
� 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。
SISO系统状态反馈极点配置方法(9/10)
� 因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x′
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
证明过程:
� 设SISO被控系统∑(A,B,C)为能控规范II形,则其各矩阵分 别为
⎡ 0 1 ... 0 ⎤
⎢ A=⎢
...
⎢0
...
...
...
⎥ ⎥
0 ... 1 ⎥
⎢⎣− an − an−1 ... − a1 ⎥⎦
C = [bn bn−1 ... b1 ]
且其传递函数为
⎡0⎤ B = ⎢⎢...⎥⎥
B
对能控规范II形Σ~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下
K̃ = ⎡⎣an* − an
a* n−1
−
an−1
⋯
a1* − a1 ⎤⎦
因此,原系统∑的相应状态反馈阵K为 K = K̃Tc2
SISO系统状态反馈极点配置方法(3/10)—例2
� 下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。
� 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
状态反馈极点配置定理(11/11)
� 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
� 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 � 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不
改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
3. 求反馈律:
� 因此开环特征多项式
f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1±j2所确定的期望闭环特征多项式
f*(s)=s2+2s+5,
则得状态反馈阵K为 K = K~Tc−21 = [a*2 - a2 a1* - a1]Tc−21
= [5 - (-5)
2
-
(-2)]×
1 6
⎡-1 ⎢⎣-1
x=Pcx̃ ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
⎡ x̃1′ ⎤
⎢ ⎣
x̃
2′
⎥ ⎦
=
⎡
⎢ ⎣
Ã11 0
Ã12 Ã22
⎤
⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
x̃1 x̃ 2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢
B̃1
⎣0
⎤ ⎥ ⎦
u
其中状态变量x̃1是完全能控的;状态变量 x̃2是完全不能控的。
� 对状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)作同样的线性变换,有
⎢ A - BK = ⎢
...
⎢0
...
...
...
⎥ ⎥
0 ... 1 ⎥
⎢⎣- an - k1 - an−1 - k2 ... - a1 - kn ⎥⎦
� 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为
Gk (s)
=
sn
+
(a1
b1sn−1 + ... + bn + kn )sn−1 + ... +
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A − BK ) = si*, i = 1,2,..., n
� 下面分别讨论: � 状态反馈极点配置定理 � SISO系统状态反馈极点配置方法 � MIMO系统状态反馈极点配置方法 � 输出反馈极点配置
反馈控制与极点配置 (5/5)
⎢0⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
G(s) = b1sn−1 + ... + bn sn + a1sn−1 + ... + an
状态反馈极点配置定理(5/11)
� 若SISO被控系统∑(A,B,C)的状态反馈阵K为
K=[k1 k2 … kn] 则闭环系统∑K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
⎡0
1 ... 0 ⎤
多项式f*(s)所规定的极点上。
� 即证明了充分性。
� 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为
其中
K=[k1 k2 … kn]
ki
=
a* n−i+1
− an−i+1
状态反馈极点配置定理(7/11)
(2) 再证必要性(结论⇒条件)。
� 即证明,若被控系统∑(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的。
� 例6-3 已知系统的传递函数为
G(s) =
10
s(s +1)(s + 2)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上。
� 解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 � 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型。
� 故有
SISO系统状态反馈极点配置方法(8/10)
(an
+ k1)
f k(s) = sn + (a1 + kn )sn−1 + ... + (an + k1 )
状态反馈极点配置定理(6/11)
� 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为
f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取
a1+kn=a1* … an+k1=an* 则可将状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点配置在特征
Ch.6 线性系统综合
目录
� 概述 � 6.1 状态反馈与输出反馈 � 6.2 反馈控制与极点配置 � 6.3 系统镇定 � 6.4 系统解耦 � 6.5 状态观测器 � 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 � 6.7 Matlab问题 � 本章小结
目录(1/1)
反馈控制与极点配置 (1/5)
6.2 反馈控制与极点配置
2⎤ 8⎥⎦
= [- 7 / 3 26 / 3]
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
SISO系统状态反馈极点配置方法(6/10)
x̃ ′
=
1 3
⎡11
⎢ ⎣
4
−58⎤
−17
⎥ ⎦
x̃
+
⎡2⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦
u
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
SISO系统状态反馈极点配置方法(7/10)—例3
状态反馈极点配置定理(1/11)
6.2.1 状态反馈极点配置定理
� 在进行极点配置时,存在如下问题: � 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 � 下面的定理就回答了该问题。
状态反馈极点配置定理(2/11)
� 定理3-22 对线性定常系统∑(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能
� 不失一般性,下面仅对能控规范II形证明充分性。
状态反馈极点配置定理(3/11)
� 下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完 全类似于SISO的情况完成证明过程。
� 证明过程的思路为:
分别求出开 环与闭环系 统的传递函
数阵
比较两传 递函数阵 的特征多
项式
建立可 极点配 置的条
件
状态反馈极点配置定理(4/11)
� 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的。
� 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 � 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还
是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法。
� 采用反证法。 � 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 意的极点配置。
证明过程的思路为:
对状态不完 全能控开环 系统进行能
控分解
对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
其完全不能 控子系统不 能进行极点
配置
与假设 矛盾,必 要性得
证
状态反馈极点配置定理(8/11)
证明过程:
� 被控系统∑(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换
(an
+
k1 )
表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点。
� 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置。
� 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。
� 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观。
2. 求能控规范II形:
T1 = [0 1][B AB]−1 = [−1/ 6 1/ 3]
Tc−21
=
⎡ T1 ⎤ ⎢⎣T1 A⎥⎦
=
1 6
⎡−1 ⎢⎣−1
2⎤ 8⎥⎦
A~
= Tc−21ATc2
=
⎡0 ⎢⎣5
1⎤ 2⎥⎦
B~
=
Tc−21
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
SISO系统状态反馈极点配置方法(5/10)
� 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上。
反馈控制与极点配置(3/5)
� 由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题:
1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点;
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
� 上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置 的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此, 有如下讨论: 1. 由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连续 系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范II形, 则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数。
⎡ ⎢ ⎣
x̃1′ x̃ 2′
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡
⎢ ⎣
Ã11
− B̃1K̃1 0
Ã12
− B̃1 Ã22
K̃2
⎤
⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
x̃1 x̃ 2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢
B̃1
⎤ ⎥
v
⎣0⎦
其中
[K̃1 K̃ 2 ] = KPc
状态反馈极点配置定理(9/11)
� 由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A~22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 � 虽置然 ,但状其态特完征全值能个控数子少系于统整的个A~系11的统特的征系值统可矩以阵任Ã 的意特配 征值个数。 � 因此,系统Σ̃ (Ã, B̃,C̃ ) 的所有极点并不是都能任意配置。
来自百度文库
⎡0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x′ = ⎢⎢0 0
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥
u
⎢⎣0 −2 −3⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [10 0 0 ]x
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环 特征多项式f*(s)分别为 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4
则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
使闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为
被控系统∑(A,B,C)状态完全能控。
□
� 证明 (1) 先证充分性(条件⇒结论)。
� 即证明,若被控系统∑(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统∑K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
� 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统∑(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。
x′
=
⎡−1 ⎢⎣−1
−2⎤ ⎡2⎤ −3⎥⎦ x + ⎢⎣1⎥⎦ u
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
SISO系统状态反馈极点配置方法(4/10)
� 解 1： 判断系统的能控性。
� 开环系统的能控性矩阵为
[B
AB]
=
⎡2 ⎢⎣1
- 4⎤
1
⎥ ⎦
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。