九年级数学上册.5相似三角形判定定理的证明同步练习题(新版)北师大版

4.5 相似三角形判定定理的证明

1. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( ) A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B

C.AD

AB

＝

DE

BC

D.

AD

AC

＝

AE

AB

2. 下列命题中是真命题的是( )

A．有一个角相等的直角三角形都相似

B．有一个角相等的等腰三角形都相似

C．有一个角是120°的等腰三角形都相似

D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似

3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( )

A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm

4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：

①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；

②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；

③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；

④若AC＝A1C1，CB＝C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.

其中真命题的个数为( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点G ，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA ＝90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．①②③

7. 相似三角形的判定定理：_______________的两个三角形相似；两边_________且夹角_______的两个三角形相似；三边__________的两个三角形相似．

8. 证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形__________________与其他两边相交，截得的对应线段__________进行证明．

9. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD ＝4，DB ＝2，则DE

BC

的值为__________．

10. 如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝____．

11. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是_______．

12. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM ＝________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．

13. 在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有____条．

14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE.

15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC

AE

，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？

16. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点． (1)求证：AC 2

＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；

(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC

AF

的值．

17. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q. (1)求线段PQ 的长；

(2)问：点P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

参考答案： 1---6 CCBBB D

7. 两角分别相等 成比例 相等 成比例 8. 一边的直线 成比例 9. 23

10. 103

11. 1.8 12.

55或255

13. 3

14. ∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE

15. 能．由AB AD ＝BC DE ＝AC AE ，得△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝AD AE ，∴

△ABD ∽△ACE

16. (1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC ，∴AC

2

＝AB ·AD

(2)∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠EAC ，又∵∠EAC ＝∠DAC ，∴∠ECA ＝∠DAC ，∴CE ∥AD

(3)∵CE ∥AD ，∴△CEF ∽△ADF ，∴CF AF ＝CE AD ，∵AB ＝6，∴CE ＝3，∴CF AF ＝CE AD ＝34，∴AC AF ＝74

17. (1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°，在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝EP ，

∴△ADP ≌△QPE(AAS)，∴PQ ＝AD ＝1 (2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PD PF ，∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，

∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12，∴当PA ＝1

2时，△PFD ∽△BFP