配送路线选择与车辆调度

反复进行第二和第四步，直至没有可连接的用户时为止，得满意方案如表 6-5。
表 6-5 满意方案 （单位：公里）
B0
1）
B1
1） 5
B2
2
7
B3
1）
3
8
18
B4
1）
14 8
5
7
B5
1）
9 10 10 13 17 B6 1）
11 10 10 14 22 24 B7 1） 1）
满意配送方案的配送路线为：B0—B1—B5—B7—B6—B4—B3—B2—B0，总行
1 xijk 0
用户i由车辆k配送； 否则。
车辆k从i点行驶到j点； 否则。
可建立该问题的数学模型如下：
24
min Z
cij xijk
i
qi yki qk
yki 1
k
yki 1 or 0
xijk ykj
i
j
xijk
yki
X (xijk ) S
xijk
1
or
0
k i 1,2,, n i 0,1,, n k j 0,1,, n k i 0,1,, n k
如果最大节约量有两个或两个以上相同时，可随机取 一个。
按此条件，在初始方案表 6—3 中寻得具有最大节约 量的一对用户为 i=6、j=7，其节约量为 24 公里。
19
第三步，按 tij 的定义和公式（6.4）修正 tij 的值。 连接 B6与B7 ，即令 t6，7 1 ，由公式（6.4）得：
t0，6 1 t0,7 1
5
2.精确算法的局限性 VRP问题的求解方法可分为两大类，即 精确算法和启发式算法。精确算法主要有 分枝定界法、割平面法、网络流算法、动 态规划方法等。精确算法随着配送系统规 模的增大，其计算量呈指数递增，使得获 取系统最优解越来越困难。因此，精确算 法在实际应用中受到很大的局限。
6
三、节约法原理
消去约束，即消去构成不完整线路的解。
求解时令 cii M (i 1,n) ，M 为相当大的正数。
13
由于旅行商问题是典型的 NP 难题，难以用 精确算法求解，一般采用启发式方法。下面举例 说明用节约法求解单车非满载车辆配送路线安排 问题的计算过程。
例 6-1 表 6-1 所列为一个配送中心 B0 和 7 个用户
t0 j 2 表示用户点 j 与配送中心 B。连接两次，即由一辆车单
独给用户 Bj 送货。 根据以上定义，应有以下等式成立：
j-1
7
tij tij 2
i0
i j1
j 1，2，7
（6.4）
按节约量公式（6.2）计算任意两用户之间的节约量，列于表 6-2。
16
表 6-2 节约量表 （单位：公里）
B0
B1
5
B2
2
7
B3
3
8
18
B4
14 8
5
7
B5
9
10
10
13
17
B6
11
10
10
14
22
24
B7
17
第一步，求初始解。 每用户各派一台车往返送货，得初始方案如表 6—3。表 中半括号中的数字为 tij 的取值。此方案的总行程为 152 公里。
表 6-3 初始方案 （单位：公里）
B0
2） B1
2） 5
n
ql1 ql、b j q1、 b j q p 。求最短总配送路线与车辆调度方
j
案。
23
为方便建立数学模型，将配送中心编号 0 与用户编号 j( j 1,2,, n) 统一起来，均用 i(i 0,1,, n) 来表示；将配送车辆 编号 k(k 1,2,, m) 。定义如下变量：
1 yki 0
26
例：由配送中心B0向12个用户Bj (j=1,2,…12)送货，
各点之间的运输里程和各用户的需求量见表6-1。表6-2为 可供调度的车辆数目及其载重量。
表6-1 各点之间里程表（单位：公里） 表6-2 可供调度的汽车
bj
(吨)
B0
配送车种类
1.2 9 B1 1.7 14 5 B2
可供调度台数
1.5 21 12 7 B3
程 54 公里。
22
二、多车非满载配送路线安排与车辆调度
问题描述：一个配送中心 B0 向 n 个用户 B j ( j 1,2,, n) 配 送货物，用户 Bj 的需求量为 b j ；配送中心配有配送车辆 m 量，按载重量分为 p 种类型，每种类型记为 l(l 1,2,, p) ， 每 种 车 的 数 量 为 wl 辆 、 载 重 量 为 ql ， 且
表6-3 节约量表（单位：公里）
bj B0
如:S1,2＝d0,1+d0,2－d1,2
1.2
B1
1.7
18 B2
1.5
如 图 6-1 （ a ） 所 示 ， 配 送 中 心 B0 派 两 辆 配 送 车 给 四 个 用 户
Bi1、Bi、B j、B j1 送货，两辆车的配送路线分别为 B0 Bi1 Bi B0 和
B0 B j B j1 B0 ，两辆车行驶的总里程为：
S a d 0,i1 d i1,i d i,0 d 0, j d j, j1 d j1,0
且
n
bj
Q
。如果任意两点之间的距离
c ij
已知，求行
j 1
程最短的送货路线。
11
如果将配送中心也作为一个用户点，货车从 配送中心出发，对所有用户巡回送货后回到配 送中心，这样就把单车非满载车辆的配送路线 安排问题转化为个点的旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简记TSP）。它的解是： 从配送中心出发，对所有用户巡回一次回到配 送中心的距离最短的路线。
Bi Bi-1
Bj
Bi
Bj+1
Bi-1
B j
Bj+1
B0
B0
(a)
(b)
图 6-1 配送方案改进
8
假定运输网络中的任意两点之间都有路径可以连通，且最短距离已 知。如果配送中心有更大的车辆，即一辆车能完成四个用户的送货，这 时可将图 6-1（a）的配送方案改变成图 6-1（b）的方案，配送路线为
B0 Bi1 Bi B j B j1 B0 ，车辆行驶的总里程为：
第六章 配送路线选择与车辆调度
主要内容：
配送路线安排与车辆调度问题及节约法原 理；
单中心配送路线选择与车辆调度； 多中心配送路线选择与车辆调度；
货车配载 。
1
第一节 配送路线安排与车辆调度问题
及节约法原理
一、配送路线安排与车辆调度问题
配送路线安排与车辆优化调度问题常被分为车
辆路线安排问题（Vehicle Routing Problem，
12
对于旅行商问题，通常构造成一个网络图，相应的数学模型为：
min z
cij xij
ij
n
xij 1
i1
n
xij 1
j1
X
( xij )
1
xij
0
j 0,1, n
i 0,1, n
S 路段(i, j)在线路上； 否则。
（6.3）
式中，xij 为路段（i,j）是否在配送路线上的决策变量；S 为支路
1.4 23 22 17 10 B4
1.7 22 21 16 21 19 B5
1.4 25 24 23 30 28 9 B6
1.2 32 31 26 27 25 10 7 B7
1.9 36 35 30 37 35 16 11 10 B8
1.8 38 37 36 43 41 22 13 16 6 B9
Bi
Bj
Bi
Bj
B0
B0
(a
(b
10
)图 6-2 节约法原)
第二节 单中心配送路线选择与车辆调度
一、单车非满载配送路线安排
单车非满载配送路线安排，是指一个配送中心
B0 用一辆载重量为 Q 的货车给 n 个用户 B j ( j 1,2,n)
巡回送货，用户 Bj 的需求量为 bj（ j 1，2 ，…，n ），
4
二、VRP问题精确求解方法的局限性
1. VRP问题求解思路 VRP问题的求解方法一般相当复杂，通常的 做法是应用相关技术将问题分解或者转化为 一个或多个已经研究过的基本问题（如旅行 商问题、指派问题、运输问题、最短路问题、 最小费用流问题、中国邮递员问题等），再 使用相对比较成熟的基本理论和方法进行求 解。
简记VRP）和车辆调度问题（Vehicle
Scheduling Problem，简记VSP），前者仅从空
间位置考虑车辆路线的安排和车辆调度，后者则
要考虑时间要求。显然VSP问题比VRP 问题讨论
的范围宽，或者说，VSP问题是有时间约束的VRP
问题。本书主要讨论VRP问题。
2
VRP问题的描述
VRP问题一般可描述为：对一系列装货点或 （和）卸货点，组织适当合理的行车路线，使车 辆有序地通过它们，在满足一定的约束（如货物 需求量、发送量，车辆容量、数目限制、车辆行 驶里程限制等）条件下，达到一定的目标（如最 短路程、最小费用、最短时间、最少车辆等）。
B2
2） 2
7
B3
2） 3
8
18
B4
2） 14
8
5
7
B5
2） 9
10
10
13
17
B6
2） 11
10
10
14
22
24
B7
18
第二步，满足下述条件，在初始方案表中寻找具有最 大节约量的用户点 i、j：
（1） t0i、t0 j 0 i j；
（2） Bi、B j 尚未连接在同一巡回路线上；
条件（1）保证用户点 i、j 不是内点。所谓“内点” 是指不与配送中心直接连接的点。
i, j 0,1,, n k
（6.5）
式中，S 为支路消去约束，即消去构成不完整线路的25解。
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此模型用精确算法求解更加困难，下面仍 用节约法求解此类问题的满意解。求解的过 程与例6-1基本相同，只是在方案改进的过程
中，寻找具有最大节约量的用户i、j时，增
加了考虑车辆载重量和可调度车辆数的约束， 而且，车辆调度时优先使用载重量大的车辆。
1.6 42 41 36 31 29 20 17 10 6 12 B10
1.7 50 49 44 37 31 28 25 18 14 12 8 B11
1.1 52 51 46 39 29 30 27 20 16 20 10 10 B12
4吨 5吨 6吨
∞3 4
27
解：由表6-1中的数据，按节约量公式（6.5）计算每两 用户之间的节约量Si,j 列于表6-3，称节约量表。
Sb d 0,i1 d i1,i d i, j d j, j1 d j1,0
显然，改变后的方案与改变前相比，车辆行驶总里程的节约量为：
Si, j d0,i d0, j di, j
（6.1）
9
图 6-2 是节约法的基本原理图，其中图(a)方案为配送中心对两个用户 分别单独派车送货，两辆车送货总行程为：
得改进方案如表 6-4，改进后的方案比原方案节约行 程 24 公里。
20
表 6-4 改进方案 （单位：公里）
B0
2） B1
2） 5 B2
2） 2 7 B3
2） 3 8 18 B4
2） 14 8 5 7 B5
1） 9 10 10 13 17 B6
1） 11 10 10 14 22 24 B7
1）
21
Bj ( j 1, 2...,7) 8 个点任意两点之间的距离，用一辆
货车装载 7 个用户所需的货物，从配送中心出发 巡回给 7 个用户送货，然后回到配送中心，求行 程最短的送货路线。
14
表 6-1 里程表 （单位：公里）
B0
8
B1
5
8
B2
9
15
7
B3
12 17 9
3
B4
13
7
10 17 18
B5
为了克服精确优化方法的不足，人们提出了许 多能获得“满意”解的启发式算法。启发式算法 是一种基于直观或经验构造的算法，它运用一些 经验法则，并通过模仿人的跟踪校正过程来求得 系统的满意解。
启发式算法中最具有代表性的是由Clarke和 Wright提出的节约法（Saving Method）。
7
节约法的基本原理：
12 11
7
11 11
8
B6
17 14 12 16 15 8
5
B7
15
解： 设 tij (i 0,1,,7；j 1,2,,7) 为 i、j 两点是否连接在一起的决 策变量，并对其取值作如下定义： tij 1 表示 i、j 点连接，即在同一巡回路线中；
tij 0 表示 i、j 点不连接，即不在同一巡回路线中；
3
VRP问题的分类
VRP问题又根据不同标准分为：车辆满载问题 （一个用户的货运量大于一辆车的容量，完成任 务需要多辆车）与非满载问题（一个用户的货运 量不大于一辆车的容量，完成任务只需要一辆 车）、单车场问题（一个货场或一个配送中心） 与多车场问题（多个货场或多个配送中心）、单 车型（所有车辆容量相同）与多车型问题（车辆 容量不全相同），以及优化目标的单目标与多目 标问题。
Sa 2d0,i 2d0, j
将图(a)方案变成图(b)方案，改变后只需用一辆车送货，送货总行程为：
Sb d 0,i d 0, j di, j
改变后的方案比原方案节约运输里程：
Si, j d 0,i d 0, j di, j
(6.2)
式 6.2 与式 6.1 完全一样，是有名的节约量公式。