恒成立问题与有解问题的区别
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恒成立问题与有解问题的区别
恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,在近几年的高考试题中,越来越受到高考命题者的青睐,涉及恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。
1、恒成立问题
恒成立问题与一次函数联系
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
ⅰ)⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ)⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩
⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有⎩
⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x 及P ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将p 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解:不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:
^
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得:⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或
∴x<-1或x>3.
恒成立问题与二次函数联系
若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立,则有⎩
⎨⎧<∆>00a ,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。
分析:题目中要证明f(x)≥a 恒成立,若把a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间
[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解:设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.