4线性预测分析

求解方程，可得到LPC系数 并可以计算最小预测误差能量
ˆ ˆ En n (0,0) ai (0, i )
p
ˆ En 又被称为预测残差能量，它由一个固定分量和一个依赖
i 1
于预测系数的分量组成。
Ⅲ 时域、频域处理方法（54）
要构造信号的AR模型，还应估算增益因子。 AR模型的差分方程形式 因此可计算预测误差 则
Ⅲ 时域、频域处理方法（56）
线性预测方程组的解法： 自相关法 我们定义 (k , i) x(n k ) x(n i) 时，未将求和范围具体化。 n
采用短时分析技术，只计算范围（0≤n≤N-1）以内的语 音数据。
xw (n) 为加窗后的语音数据。
(k , i )
N 1 p
E (i 1)
ai(i ) ki
i a(ji ) a(ji 1) ki ai(j1)
j 1,..., i 1
E (i ) (1 ki2 )E (i1)
(4) i=i+1。若i >p则算法结束退出，否则返回第（3）步， 这样经过递推计算后，可得到i=1,2,…,p各阶预测器的解。
( q aki ) rn (| k j |) (i ) j k 0 i
j p ~ p
i 0,1,..., p
Ⅲ 时域、频域处理方法（63）
q (ji ) 有如下性质： 可以证明，
（1）当 i 0 时，
（2）反射系数 （3）递推式
q(ji ) rn ( j ) qi(i 1) ki (i 1) q0
Ⅲ 时域、频域处理方法（62）
舒尔递推算法：
定义归一化的自相关函数如下：
rn ( j) Rn ( j) / Rn (0)
j p ~ p
将前面方程中的自相关函数都转化为其归一化形式。 归一化自相关函数永远不大于1，因而，递推过程中的所有变 量都小于或等于1。
q (ji ) 递推过程中设一辅助序列
x(n) ai x(n k ) Gu (n)
i 1 p
e(n) [ x(n) x(n)] Gu(n)
n n
En G 2 u 2 (n)
n
激励信号u(n)总能量可以认为近似为1，因此有
ˆ ˆ1 G En / 2
Ⅲ 时域、频域处理方法（55）
求LPC系数需考虑两个因素： （1）模型阶数的选择。 （2）由于声门脉冲形状和口唇辐射的影响，语音信号的 频谱在总趋势上会产生高频衰落的现象，可通过预加重 进行高频提升。 声门激励是一个双极点模型，口唇辐射是一个零点模型， 如一个零点抵消一个极点，则还有一个极点的影响。因 p ，D 1 2 其中 为共振峰的个数。 D 此，模型阶数为
Ⅲ 时域、频域处理方法（61）
经过递推计算后,最终解为:
ˆ aj a ,
( p) j
j 1,2,...., p
E
( p)
Rn (0) (1 ki2 )
i 1
p
由于各阶预测器的预测残差能量都是非负的，可以推知
ki 1, i 1,2,...., p
ki称为反射系数。 且 E ( i )必随预测器阶数的增加而减少。
i 1
i 1
从时域角度可以理解为，用信号的前p个样本来预测当 前的样本得到预测值。
Ⅲ 时域、频域处理方法（52）
预测误差 ： e(n) x(n) x(n) x(n) ai x(n i )
i 1 p
预测误差滤波器： A( z ) 1 F ( z ) 1 ai z i
a(ji) a(ji1) ki ai(ij1)
j 1,..., i 1
方程两边同时左乘 1 z 1 ... z i ，得
1 a z
i
0 1 (i 1) ( i ) ( i 1) a1 a1 ai 1 a (i 1) a ( i ) a ( i 1) i 2 2 2 . . ki . . . . (i ) ( i 1) ( i 1) a1 ai 1 ai 1 (i ) 1 ai 0
Ⅲ 时域、频域处理方法（57）
由于短时自相关函数可以表示为：
Rn (k )
N 1 k

n 0
xw (n) xw (n k )
且有Rn (k ) Rn (k )，Rn (k i) 仅与k、i 的相对值有关。 则 (k , i) 可以表示为
(k , i) Rn (k i) Rn (| k i |)

n 0
xw (n k ) xw (n i )
k 1, 2, , p i 0,1, 2, , p k 1, 2, , p i 0,1, 2, , p
或
( k , i )
N 1( k i )
wenku.baidu.com
n 0
xw (n) xw (n k i)
Ⅲ 时域、频域处理方法（60）
莱文逊—杜宾递推算法 j 0,1,..., p (1)计算自相关系数 Rn ( j), E (0) Rn (0) i 1 (2)初值 (3)开始按如下公式进行递推运算
ki Rn (i ) a (ji 1) Rn (i j )
j 1 i 1
j p ~ p
i 1, 2,.., p
i q(ji ) q(ji 1) ki qi(j1)
成立；
（4） | qi ( j ) | rn (0) ，其中等号仅当 i j 0 时成立。
Ⅲ 时域、频域处理方法（64）
舒尔递推算法描述如下：
， j p ~ p （2）计算归一化自相关系数 rn ( j ) Rn ( j ) / Rn (0) （1）计算自相关系数 Rn ( j)
(k , i) x(n k ) x(n i)
n
p i 1 i
p
n
i 1
i
k 1,2, , p
i 0,1,2, , p
n
k 1,2, , p
则方程组可简写为
a (k , i) (k ,0)
一个由p个方程组成的有p 个未知数的线性方程组
i 1 p i
语音信号的模型化
AR 模型
问题：如何在已知x(n)的条件下，求出系数 {ai} i=1,…, p ? 解答：线性预测分析的方法。
Ⅲ 时域、频域处理方法（51）
思路：一个语音的采样能够用过去若干个语音采样的线 性组合来逼近。通过使线性预测到的采样在最小均方误 差意义上逼近实际语音采样，可以求取一组唯一的预测 系数。 常简称为LPC（Linear Prediction Coding），系数称为 线性预测系数或LPC系数。 几个概念 p p i 预测器： F ( z ) ai z 它的差分方程为 x(n) ai x(n i)
则有：
p En (2 x(n) x(n k ) 2 ai x(n k )x(n i)) ak n i 1 n
Ⅲ 时域、频域处理方法（53）
得到线性方程组
x ( n) x ( n k ) a x ( n k ) x ( n i )
若定义
j 1
这个滤波器输入信号是 x(n) ，输出信号为预测误差 e(i ) (n) ，
e (n) x(n) a (ji ) x(n j )
(i ) i j 1
写成z变换形式为：
E (i ) ( z) X ( z) A(i ) ( z)
Ⅲ 时域、频域处理方法（68）
利用前面的递推式：ai(i ) ki 写成矩阵形式： 1
k 1, 2, , p i 0,1, 2, , p
求解LPC系数的方程组就可以写为：
ˆ R (| k i |)a
i 1 n p i
Rn (k )
k 1,2, , p
Ⅲ 时域、频域处理方法（58）
将其转换成矩阵形式
Rn (1) Rn (2) Rn (0) R (1) Rn (0) Rn (1) n Rn (2) Rn (1) Rn (0) ... ... ... ... ... ... Rn ( p 1) Rn ( p 2) Rn ( p 3) ... Rn ( p 1) ... Rn ( p 2) ... Rn ( p 3) ... ... ... ... ... Rn (0) ˆ a1 Rn (1) a ˆ2 Rn (2) a3 Rn (3) ˆ .. .. . . ... .. . ˆ a p Rn ( p)
i 1
p
可知H(z)=G/A(z)，即预测误差滤波器是系统的逆滤波器。 短时预测均方误差:
En e (n) [ x(n) x(n)] [ x(n) ai x(n i)]2
2 2 n n n i 1 p
线性预测分析应该在短时的语音段上进行，求解过程 使
En / ak 0, (k 1,2, , p)
（3）令 a0 1
q(0) rn ( j) j
E (0) 1;
（4）令 i 1
（5）对于 i p j p 计算：
qi(i 1) ki (i 1) q0
q q
(i ) j
(i 1) j
k q
(i 1) i i j
（6）i i 1 。若 i p 则算法结束退出，否则返回（5）。
Ⅲ 时域、频域处理方法（65）
最终得到的是相应的反射系数。
如果在第（5）步的递推过程加入相应的递推式， 也可以同步求出线性预测系数和预测残差能量。
Ⅲ 时域、频域处理方法（66）
格型法 ：
引入了“正向预测”和“反向预测”的概念，阐述了参 数ki的物理意义。 首先提出了逆滤波器A(z)的格型结构形式，由此给出了 线性预测分析的格型法。 格型法不需要用窗口函数对信号进行加权，同时又保证 了解的稳定性，较好地解决了精度和稳定性的矛盾。
Ⅲ 时域、频域处理方法（67）
格型法的基本原理：
在基于自相关的杜宾递推算法中，当递推进行到第 i 阶 时，可得到该阶预测系数 a (ji ) ( j 1,2,...,i) 可以定义一个 i 阶的线性预测误差滤波器，它的传输函数 i 定义如下： (i ) (i ) j
A ( z) 1 a j z
线性预测分析
Ⅲ 时域、频域处理方法（50）
3.7 线性预测（Linear Prediction）分析
根据语音信号的产生模型，语音信号x(n)可以看作以u(n) 为激励的一个全极点滤波器的响应。 1
V ( z)
a z
i 0 i
p
i
u (n)
H (z )
x ( n)
H ( z)
G 1 ai z
可以导出：
k 1
(i ) k k
1 a
k 1
i 1
( i 1) k k
i 1 (i 1) k z ki z 1 ak z k 1
这种方程为Yule-Walker方程 ，其系数矩阵被称为托布里 兹(Toeplitz)矩阵。具有如下特点： （1）p×p阶的对称阵。 （2）沿着主对角线及任何一条与主对角线平行的斜线上 的所有元素都相等 。
Ⅲ 时域、频域处理方法（59）
利用Toeplitz矩阵特点： i阶方程组的解可以用i-1阶方程组的解来表示，i-1阶方程 组的解又可以用i-2阶方程组的解表示，依此类推。 因此，只要解出一阶方程组的解，就可以一步一步地递推来 解出任意阶方程组的解。典型的方法有： 莱文逊—杜宾（Levinson—Durbin）递推算法 舒尔（Schur）递推算法