投资学-5投资收益风险

5 从历史数据中学习收益与风险

1均值与方差

我们研究的是未来一段时间投资某一资产的收益率，显然它将是不确定的，它因受到许多因素的影响而随着有关条件和客观状态的变化而变化。因此，可以把收益率视为随机变量。作为随机变量，在不同的客观状态下，它将有不同的取值。如果我们能对客观状态发生的可能性即概率给予评估（例如通过对状态的分析，或通过主观概率试验法，或通过对历史数据的处理，建立模型，预测出各种状态可能发生的概率），那么，就可以通过随机变量的数学期望和方差描述出所持资产可能的预期收益率和收益率对预期收益率的可能偏离。

1.持有期收益率

设1,-i i P P 为某资产在第i 期和第i-1期的价格，i D 为某资产在第i 期的红利，则其收益率公式为：

1

1--+-=

i i

i i i P D P P r

例如：投资者以每股10元的价格买入某只股票，一年后该股票每股价格上升到12元，期间上市公司每股发放股息0.2元。在不考虑税收的情况下，投资者这一年的收益为： 那么

投资者一年的投资收益为：(%)2210

2

.01012=+-=

i r

在证券资产的分析和计算中，我们常常要使用连续复利收益率。连续复利收益率是指证券期末价格与上期末价格之比的对数，即

1

ln

-+=i i

i i P D P r 式中，i r ——某资产第i 期连续复利收益率； i P ——某资产第i 期的价格； 1-i P ——某资产第i －1期的价格； i D ——某资产在第i 期的红利。 接上例数据。则：(%)20)10

2

.12ln(==i r 。 2.期望收益率

因为资产价格是随机的，因此收益率i r 是随机变量，它的取值为r 1，r 2，…，r N ，相应的概率分布为p 1，p 2，…，p N ，即p i =P(r=r i )，i=1,2,…,N ，则

∑==N

i i i p r r E 1)(

称之为收益率的期望值，简称预期收益。

例：假设某公司未来一年的投资收益依赖于下一年的宏观经济状态，而宏观经济可能出现三种状态：繁荣、一般和萧条。在每种状态下，公司收益率分别为10%、5%和-7%。根据经济学家的预测，未来宏观经济出现繁荣的概率为0.3，出现一般的概率为0.4，出现萧条的概率为0.3。结合上述信息，计算该公司的期望收益率。

根据上述公式可知：

%9.2%)7(3.0%54.0%103.0)(3

1

=-⨯+⨯+⨯==∑=i i i r p r E

3资产的风险（方差）

定义 设随机变量y 的期望∞<)(y E ，且∞<-]))([(2

y E y E ，则方差定义为

]))([(22y E y E -=σ

∑=-=N

i i i p r E r r 1

22

))(()(σ=]))([(2y E y E -

称之为收益率的方差（风险）。有时也记为2

r σ。

∑=-=

N

i i i p r E r r 1

2

))

(()(σ

称之为收益率的均方差或标准差。也记为r σ。

例：假设投资者等比例持有两只股票ABC 和XYZ 。两只股票的收益率受到利率升降和原材料价格高低的影响。未来的经济状态有四种：①利率上升，原材料价格上涨；②利率上升，原材料价格下跌；③利率下降，原材料价格上涨；④利率下降，原材料价格下跌。如果每种经济状态发生的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.4,并给定每只股票在每种状态下的投资收益

根据前面的计算结果我们知道两个资产的期望收益率分别等于8%和9.1%。这样一来，股票ABC 收益率的方差为：

∑=-⨯=4

1

22%)8(i i i ABC

r p σ

2222%)8%10(4.0%)8%7(3.0%)8%7(2.0%)8%5(1.0-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=

=0.03% 进而有：

%732.1=ABC σ

股票XYZ 收益率的方差为：

∑=-⨯=4

1

22%)1.9(i i i XYZ

r p σ

2

222%)1.9%9(4.0%)1.9%7(3.0%)1.9%12(2.0%)1.9%10(1.0-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= =0.0309%

由此可得：

%758.1=XYZ σ

4.统计估计值

期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征。特别对某些具有确定概率分布形式只含有均值和方差两个未知参数的随机变量，只要能估计出参数的取值，则随机变量的统计规律便完全确定了。

在现实世界中从事证券资产投资时，很难得到收益率的概率分布，这时我们可以通过抽样，得到收益率容量为N 的样本（r 1，r 2，…，r N ），通过这个样本对随机变量的两个参数——均值与方差进行估计。均值和方差的两个具有良好的统计性质的估计量就是它们的样本均值r 和样本方差2

r σ或标准差，它们由下述公式给出。

∑==

N

i i r N

r 1

1

，∑=--=N i i r

r r N 12

2

)(11σ或2/112])(11[∑=--=N i i r r r N σ。 为什么是N-1，请思考！！！ 注意，解释如下：

为了把某一个统计量作为未知的分布参数的估计值，我们希望这个估计值的数学期望等于该未知参数，具有这种性质的估计值叫做分布参数的无偏估计值。

现在说明分布参数数学期望μ及方差2

σ的无偏估计值是否就是统计量∑==

N

i i

r

N

r 1

1

及

统计方差∑=-=

N

i i r r N

s 12

2

)

(1

。为此，我们应该计算这些统计量的数学期望。

我们有

∑∑====

==N

i i N

i i

N

N r E N r N

E r E 1

1

)(1)1

(

)(μμ

即统计量r 是参数μ的无偏估计值。利用统计量r 代替未知参数μ时，所产生的误差不是由随机因素而产生的。所以选取随机变量的观测值的算术平均值作为参数μ的估计值是适当的。

现在计算统计量2

s 的数学期望。我们将2

s 写成下面的形式：