(完整版)第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

第2讲相交线与平行线动点提高题

知识点：

1、平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。

2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

3、平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

典型例题

例1.（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD 的位置关系，并说明理由．

（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案）

（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．

解（1）：AB∥CD．

理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．

∵∠AEF=150°，

∴∠EFH=30°，

又∵EF⊥GF，

∴∠HFG=90°-30°=60°．

又∵∠DGF=60°，

∴∠HFG=∠DGF，

∴HF∥CD，

则AB∥CD；

（2）延长ED交BC于点F．

∵AB∥DE，

∴∠BFE=∠ABC=70°，则∠CFE=180°-∠BFD=110°，

∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°=37°，

故答案是：37°；

（3）延长DC交AB于点F，作△ACF的外角∠4．

∵CD∥BE，

∴∠DFB=∠3，

又∵∠DFB+∠2+∠4=360°，

∴∠2+∠3+∠4=360°，即∠2+∠3=360°-∠4．

∴∠2+∠3-∠1=360°-∠4-∠1=360°-180°=180°，

故答案是：180°；

（4）延长BE交直线CD于点G．

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠BGD，

又∵∠ABE=∠DCF，

∴∠BGF=∠DCF，

∴BE∥CF．

例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1若AB∥CD点P在AB、CD外部求证：∠BPD=∠B-∠D；

（2）将点P移到AB、CD内部如图2（1）中的结论是否成立若成立说明理由：若不成立则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系不必说明理由；

（3）在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系并证明你的结论；

（4）在图4中若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°则n=______．解（1）∵AB∥CD，

∴∠B=∠BOD，

而∠BOD=∠BPD+∠D，

∴∠B=∠BPD+∠D，

即∠BPD=∠B-∠D；

（2）（1）中的结论不成立，∠BPD=∠B+∠D．

作PQ∥AB，如图2，

∵AB∥CD，

∴AB∥PQ∥CD，

∴∠1=∠B ，∠2=∠D ，

∴∠BPD=∠B+∠D ；

（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ．理由如下：

连结QP 并延长到E ，如图3，

∵∠1=∠B+∠BQP ，∠2=∠D+∠DQP ，

∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP ，

∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ；

（4）连结AG ，如图4，

∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG ，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=（5-2）×180°=6×90°，

∴n=6．

故答案为6．

例3.如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个

部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P 落在某个部分时，连结PA 、PB ，构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)

(1)当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD ；

(2)当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？

(3)当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。

（1）解法一：如图9-1

延长BP 交直线AC 于点E

∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .

∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,

∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二：如图9-2

过点P 作FP∥AC ,

∴ ∠PAC = ∠APF .

∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .

∴ ∠FPB =∠PBD .

∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .

解法三：如图9-3，

∵ AC ∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°

即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.

又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,

∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .

（2）不成立.

（3）(a )当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB .

(b )当动点P 在射线BA 上，

结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .

或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，

∠PAC =∠PBD （任写一个即可）.

(c ) 当动点P 在射线BA 的左侧时，

A B ① ② ③ ④ A B ① ② ③ ④ A B ① ② ③ ④

P (第5题图) C D C D C D