通信原理课件-第二章 确定和随机信号分析
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2 2
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X * (t2 )]
均值
相关函数
• 两个随机过程x(t)和y(t)的互相关函数定义为
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y * (t2 )]
随机信号分析基础
2 • 随机变量
独立同分布，零均值，方差相同的高斯随机变量 若 2 则x为具有n个自由度的 随机变量，其概率密 度函数为 1
x n /2 n n p( x) 2 ( ) 2 0,
x n 1 2 2 2
e
, x0 其他
2 例，衰落信道的信道增益服从自由度为2的 分
布
随机信号分析基础
• 瑞利（Rayleigh）随机变量 如果X1和X2是两个均值为0，方差为 的独 立同分布的高斯变量，则
2
为瑞利随机变量。 瑞利随机变量的PDF为
x x2 2 e 2 , p( x) 0,
2
x0 其他
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间无直达径时， 信道衰落的幅值服从瑞利分布
i
1 n X i E[ X 1 ] n i 1
• 中心极限定理：如果 X i , i 1, 2, 是一个独立 同分布的随机变量序列，E X m, Var( X )
2 i i
1 n Xi m n i 1 N (0,1) / n
随机信号分析基础
FX x1 , , xk ; t1 , , tk FX x1 , , xk ; t1 , , tk
, tk
随机过程
• 对严平稳随机过程而言，任意两个不同时 刻取样值的一维概率密度函数完全相同， 即对任意不同时刻 i,j,
f xi f x j
• 严平稳随机过程的二维联合概率分布也与 时间起点无关，即
• 随机过程是时间的函数； • 随机过程在每个时间点上的值为随机变量；
• 随机过程举例：语音信号，电视信号，雷达信号， 噪声。
随机过程可表示为多维随机变量 [x1 , x 2 , x 3 , ] 可通过变量的各阶概率密度函数描述随机过程的 统计特性
随机过程
• 令 [ X , X , X ] 表示随机过程在k个时间点上 的采样值，则该随机过程在k个时刻的联合 行为由随机向量 [ X1, X 2 , X k ]的联合概率分布 函数决定。
确定信号分析基础
• 带通信号的频谱特性
– 实信号的傅里叶变换具有对称性： X( f) X * ( f )
带通信号的频域特性：幅度偶对称，相位奇对称。 带通信号的全部信息包含在正频域中。 – 带通信号的频谱位于远离零的某频率 f 0 附近。 – 在正频率部分占用的频段为带通信号的带宽
确定信号分析基础
当信号通过线性系统时（比如信道），系统的 输出为输入信号和系统冲击响应的卷积。
f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( )
当f2(t)为正弦信号时，频域卷积定理相当于调制 定理。
确定信号分析基础
• 带通与低通信号的表示
– 信源所产生的信息信号多为低频（基带）信号 – 信道中传输的为调制后的带通信号 – 带通信号特点：实高频信号 – 低通信号特点：复（或实）低频信号 – 带通信号可以用一个等效低通信号来表示 – 信号处理在基带完成，简化了带通信号处理
• 带通信号的等效低通
x(t)
X (f) X (f) u(f)
X l (f) 2 X (f f 0 )
xl (t)
xl (t) F1 X l (f) 2 x (t) e j 2 f0t
ˆ (t) e j 2 f0t x(t) jx ˆ (t) sin 2 f 0 t x(t) cos 2 f 0 t x ˆ (t) cos 2 f 0 t x(t) sin 2 f 0 t jx
2
广义平稳随机过程的性质
• 性质一：对于广义平稳随机过程，
S X ( f ) F [ RX ( )]
• 性质二：如果x(t)和y(t)是联合广义平稳随机 过程，则z(t)=ax(t)+by(t)是广义平稳随机过 程，其自相关函数和功率谱密度为
RZ ( ) a RX ( ) b RY ( ) ab* RXY ( ) ba* RYX ( )
E[ X ] np,
VAR[ X ] np(1 p)
例：n个比特在通信信道上传输，每个比特的错误概率为p,错误比
特数服从二项分布
随机信号分析基础
• 均匀分布 概率密度函数
1 , a xb p( x) b a a
通信原理
确定与随机信号分析
信号可分为确定信号和随机信号
– 确定信号：能用函数准确表示出来的信号 《信号与系统》 – 随机信号：无法用函数准确表示出来，只能通 过概率分布等统计特性描述的信号。通信信号 和噪声为随机信号。 《概率论与随机过程》，《信息论》
确定信号分析基础
• 信号的傅里叶变换（信号的时域-频域变换）
广义平稳随机过程（宽平稳随机过 程）
• 广义平稳随机过程的充要条件： – 均值为常数： E(x(t))
– 自相关函数满足： Rx (t1 , t 2 ) Rx (t1 t 2 )
• 如果x(t)和y(t)为广义平稳随机过程，且 Rxy (t1 , t 2 ) R xy ( ) ，则两过程联合平稳。
E[ X ] p p[ X 0] 1 p
VAR[ X ] p(1 p)
随机信号分析基础
– 二项式随机变量：对n个具有共同参数p的贝努力随机变量的总和
建模
概率分布：
n k P[ X k ] p (1 p)n k k
k 0,1, ,n
统计特性：
xq (t )
×
sin 2 f 0t
定，详见数字调制技术一章
xl (t) 的具体形式由调制方式决
• 调制和解调中的频谱搬移模块可以合并到 信道中，等效信道的输入输出关系为
yl (t) xl (t ) hl (t )
随机信号分析基础
• 一些常见的随机变量
– 贝努力随机变量 取值为0和1，概率分别为p和1-p的随机变量。 概率分布： p[ X 1] p 统计特性：
1 2
e 2
z
2
2 2
随机信号分析基础
– 复高斯随机变量Z的均值和方差定义为
E[Z ] E[ X ] j E[Y ]
VAR[Z ]=E[ Z ] E[Z ] VAR[X ] VAR[Y ]
2 2
随机过程
• 随机过程的定义
– 设某随机系统输出的样本点为定义于参数集T上 的函数，所有可能的样本函数在t T 点是一个 随机变量X(t)，则集合 X (t ) t T 为一个随机过程。
x (t) F1 X (f) F1 X (f) u(f) 1 1 x(t) (t) j 2 2 t 1 j ˆ (t) x(t) x 2 2
确定信号分析基础
• 带通和等效低通信号的关系
x(t) Re xl (t) e j 2 f0t
xi (t) cos 2 f 0 t xq (t) sin 2 f 0 t rx (t) cos 2 f 0t x (t)
确定信号分析基础
• 带通系统的等效低通
– 带通系统：传递函数位于频率f 0 附近的系统
h(t) Re hl (t) e j 2 f0t
A, f (t) 0,
2 2 其他
t
F ( )=A Sa 2
时域有限，频域无限 若取到第一个零点的宽度为信号带宽，则信号 1 带宽为 Hz
确定信号分析基础
• 信号的时域及频域卷积特性
f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( )
广义平稳随机过程
• 功率谱密度：
S( ) 1 2 lim E U N ( ) N N
N
UN ( )
n N
x N (n ) e
j n
– 反映信号功率在单位频率上的分布情况 – 功率谱密度是实、非负和w的偶函数。
• 信号功率的计算公式：
PX E X (t ) RX (0) S X ( f )df
• 如果 X i , i 1, 2, 表示独立同分布的随机变量 序列，定义序列的平均运算
1 n Yn X i n i 1
• 两个极限定理，大数定理和中心极限定理 准确地阐述了当n趋于很大时，Y 的统计特 性。
n
随机信号分析基础
• 大数定律：如果 X i , i 1, 2, 是一个具有 E X 的独立同分布的随机变量序列，则
– 周期信号：可展开为傅里叶级数 – 非周期信号：傅里叶变换公式
1 f (t) 2 F ( )
频谱函数 傅里叶变换得到的是双边谱，但实际的物理频率自 能是正数。带宽对应正频率部分。
F ( ) e jt d
f (t) e jt dt
确定信号分析基础
• 例子：数字通信中常用的矩形函数时域表 示形式为
1 2 k
FX (x1 , x 2 ,
, x k ; t1 , t2 ,
, tk ) X k xk )
P( X 1 x1 , X 2 x 2 ,
随机过程
• 若序列的统计性质与时间的推移无关，即 符号序列的概率分布与时间起点无关，则 该随机过程为严平稳随机过程。对任意 t1 , t2 , 和任意 ，严平稳随机过程的k阶概率分布 函数满足
– 若带通信号x(t) 通过冲激响应为h(t)的带通系统， 输入输出关系可表示为 Y (f) X (f) H(f)
Yl (f) 1 X l (f) Hl (f) 2
yl (t) 1 xl (t ) hl (t ) 2
cos 2 f 0t
xi (t )
x1 (t )
× +
x(t )
m E x , C E (x m) x m 其中，
T
– 若 x 中的元素相互独立，则 p(x) 为n个变量概 率密度函数的乘积。
随机信号分析基础
– 联合高斯变量任何子集中的随机变量也是联合 高斯的。 – 对于联合高斯随机变量，不相关等价于独立。
随机信号分析基础
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X * (t2 )]
均值
相关函数
• 两个随机过程x(t)和y(t)的互相关函数定义为
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y * (t2 )]
随机信号分析基础
2 • 随机变量
独立同分布，零均值，方差相同的高斯随机变量 若 2 则x为具有n个自由度的 随机变量，其概率密 度函数为 1
x n /2 n n p( x) 2 ( ) 2 0,
x n 1 2 2 2
e
, x0 其他
2 例，衰落信道的信道增益服从自由度为2的 分
布
随机信号分析基础
• 瑞利（Rayleigh）随机变量 如果X1和X2是两个均值为0，方差为 的独 立同分布的高斯变量，则
2
为瑞利随机变量。 瑞利随机变量的PDF为
x x2 2 e 2 , p( x) 0,
2
x0 其他
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间无直达径时， 信道衰落的幅值服从瑞利分布
i
1 n X i E[ X 1 ] n i 1
• 中心极限定理：如果 X i , i 1, 2, 是一个独立 同分布的随机变量序列，E X m, Var( X )
2 i i
1 n Xi m n i 1 N (0,1) / n
随机信号分析基础
FX x1 , , xk ; t1 , , tk FX x1 , , xk ; t1 , , tk
, tk
随机过程
• 对严平稳随机过程而言，任意两个不同时 刻取样值的一维概率密度函数完全相同， 即对任意不同时刻 i,j,
f xi f x j
• 严平稳随机过程的二维联合概率分布也与 时间起点无关，即
• 随机过程是时间的函数； • 随机过程在每个时间点上的值为随机变量；
• 随机过程举例：语音信号，电视信号，雷达信号， 噪声。
随机过程可表示为多维随机变量 [x1 , x 2 , x 3 , ] 可通过变量的各阶概率密度函数描述随机过程的 统计特性
随机过程
• 令 [ X , X , X ] 表示随机过程在k个时间点上 的采样值，则该随机过程在k个时刻的联合 行为由随机向量 [ X1, X 2 , X k ]的联合概率分布 函数决定。
确定信号分析基础
• 带通信号的频谱特性
– 实信号的傅里叶变换具有对称性： X( f) X * ( f )
带通信号的频域特性：幅度偶对称，相位奇对称。 带通信号的全部信息包含在正频域中。 – 带通信号的频谱位于远离零的某频率 f 0 附近。 – 在正频率部分占用的频段为带通信号的带宽
确定信号分析基础
当信号通过线性系统时（比如信道），系统的 输出为输入信号和系统冲击响应的卷积。
f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( )
当f2(t)为正弦信号时，频域卷积定理相当于调制 定理。
确定信号分析基础
• 带通与低通信号的表示
– 信源所产生的信息信号多为低频（基带）信号 – 信道中传输的为调制后的带通信号 – 带通信号特点：实高频信号 – 低通信号特点：复（或实）低频信号 – 带通信号可以用一个等效低通信号来表示 – 信号处理在基带完成，简化了带通信号处理
• 带通信号的等效低通
x(t)
X (f) X (f) u(f)
X l (f) 2 X (f f 0 )
xl (t)
xl (t) F1 X l (f) 2 x (t) e j 2 f0t
ˆ (t) e j 2 f0t x(t) jx ˆ (t) sin 2 f 0 t x(t) cos 2 f 0 t x ˆ (t) cos 2 f 0 t x(t) sin 2 f 0 t jx
2
广义平稳随机过程的性质
• 性质一：对于广义平稳随机过程，
S X ( f ) F [ RX ( )]
• 性质二：如果x(t)和y(t)是联合广义平稳随机 过程，则z(t)=ax(t)+by(t)是广义平稳随机过 程，其自相关函数和功率谱密度为
RZ ( ) a RX ( ) b RY ( ) ab* RXY ( ) ba* RYX ( )
E[ X ] np,
VAR[ X ] np(1 p)
例：n个比特在通信信道上传输，每个比特的错误概率为p,错误比
特数服从二项分布
随机信号分析基础
• 均匀分布 概率密度函数
1 , a xb p( x) b a a
通信原理
确定与随机信号分析
信号可分为确定信号和随机信号
– 确定信号：能用函数准确表示出来的信号 《信号与系统》 – 随机信号：无法用函数准确表示出来，只能通 过概率分布等统计特性描述的信号。通信信号 和噪声为随机信号。 《概率论与随机过程》，《信息论》
确定信号分析基础
• 信号的傅里叶变换（信号的时域-频域变换）
广义平稳随机过程（宽平稳随机过 程）
• 广义平稳随机过程的充要条件： – 均值为常数： E(x(t))
– 自相关函数满足： Rx (t1 , t 2 ) Rx (t1 t 2 )
• 如果x(t)和y(t)为广义平稳随机过程，且 Rxy (t1 , t 2 ) R xy ( ) ，则两过程联合平稳。
E[ X ] p p[ X 0] 1 p
VAR[ X ] p(1 p)
随机信号分析基础
– 二项式随机变量：对n个具有共同参数p的贝努力随机变量的总和
建模
概率分布：
n k P[ X k ] p (1 p)n k k
k 0,1, ,n
统计特性：
xq (t )
×
sin 2 f 0t
定，详见数字调制技术一章
xl (t) 的具体形式由调制方式决
• 调制和解调中的频谱搬移模块可以合并到 信道中，等效信道的输入输出关系为
yl (t) xl (t ) hl (t )
随机信号分析基础
• 一些常见的随机变量
– 贝努力随机变量 取值为0和1，概率分别为p和1-p的随机变量。 概率分布： p[ X 1] p 统计特性：
1 2
e 2
z
2
2 2
随机信号分析基础
– 复高斯随机变量Z的均值和方差定义为
E[Z ] E[ X ] j E[Y ]
VAR[Z ]=E[ Z ] E[Z ] VAR[X ] VAR[Y ]
2 2
随机过程
• 随机过程的定义
– 设某随机系统输出的样本点为定义于参数集T上 的函数，所有可能的样本函数在t T 点是一个 随机变量X(t)，则集合 X (t ) t T 为一个随机过程。
x (t) F1 X (f) F1 X (f) u(f) 1 1 x(t) (t) j 2 2 t 1 j ˆ (t) x(t) x 2 2
确定信号分析基础
• 带通和等效低通信号的关系
x(t) Re xl (t) e j 2 f0t
xi (t) cos 2 f 0 t xq (t) sin 2 f 0 t rx (t) cos 2 f 0t x (t)
确定信号分析基础
• 带通系统的等效低通
– 带通系统：传递函数位于频率f 0 附近的系统
h(t) Re hl (t) e j 2 f0t
A, f (t) 0,
2 2 其他
t
F ( )=A Sa 2
时域有限，频域无限 若取到第一个零点的宽度为信号带宽，则信号 1 带宽为 Hz
确定信号分析基础
• 信号的时域及频域卷积特性
f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( )
广义平稳随机过程
• 功率谱密度：
S( ) 1 2 lim E U N ( ) N N
N
UN ( )
n N
x N (n ) e
j n
– 反映信号功率在单位频率上的分布情况 – 功率谱密度是实、非负和w的偶函数。
• 信号功率的计算公式：
PX E X (t ) RX (0) S X ( f )df
• 如果 X i , i 1, 2, 表示独立同分布的随机变量 序列，定义序列的平均运算
1 n Yn X i n i 1
• 两个极限定理，大数定理和中心极限定理 准确地阐述了当n趋于很大时，Y 的统计特 性。
n
随机信号分析基础
• 大数定律：如果 X i , i 1, 2, 是一个具有 E X 的独立同分布的随机变量序列，则
– 周期信号：可展开为傅里叶级数 – 非周期信号：傅里叶变换公式
1 f (t) 2 F ( )
频谱函数 傅里叶变换得到的是双边谱，但实际的物理频率自 能是正数。带宽对应正频率部分。
F ( ) e jt d
f (t) e jt dt
确定信号分析基础
• 例子：数字通信中常用的矩形函数时域表 示形式为
1 2 k
FX (x1 , x 2 ,
, x k ; t1 , t2 ,
, tk ) X k xk )
P( X 1 x1 , X 2 x 2 ,
随机过程
• 若序列的统计性质与时间的推移无关，即 符号序列的概率分布与时间起点无关，则 该随机过程为严平稳随机过程。对任意 t1 , t2 , 和任意 ，严平稳随机过程的k阶概率分布 函数满足
– 若带通信号x(t) 通过冲激响应为h(t)的带通系统， 输入输出关系可表示为 Y (f) X (f) H(f)
Yl (f) 1 X l (f) Hl (f) 2
yl (t) 1 xl (t ) hl (t ) 2
cos 2 f 0t
xi (t )
x1 (t )
× +
x(t )
m E x , C E (x m) x m 其中，
T
– 若 x 中的元素相互独立，则 p(x) 为n个变量概 率密度函数的乘积。
随机信号分析基础
– 联合高斯变量任何子集中的随机变量也是联合 高斯的。 – 对于联合高斯随机变量，不相关等价于独立。
随机信号分析基础