数字电子技术基础1.2二进制算术运算

正数，用1表示负数。其余部分用原码的形式 表示数值位。
(+11)D =(0 1011) B
(11)D =(1 1011) B
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在做减法运算时，如果两个数是用原码表
示的，则首先需要比较两数绝对值的大小， 然后以绝对值大的一个作为被减数、绝对 值小的一个作为减数，求出差值，并以绝 对值大的一个数的符号作为差值的符号。 这个操作过程比较麻烦，而且需要使用数 值比较电路和减法运算电路。
自动丢弃
1
0 0 1 1
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对于有效数字（不包括符号位）为n位的二进制数N， 它的补码(N)COMP表示方法为 (当N为正数） N
( N )COMP n 2 N
(当N为负数）
正数的补码与原码相同，负数的补码等于2n-N 。 为避免在求补码的过程中做减法运算，通常是先求出 N的反码，然后在负数的反码上加1而得到补码。
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如果用两数的补码相加代替上述减法运算，则计算 过程中就无需使用数值比较电路和减法运算电路了， 从而使减法运算器的电路结构大为简化。
10-5的减法运算 可以用10+7的加 法运算代替。
因为5和7相加正好等于产生进位的模数12，所以称7 为-5对模12 的补数，也称为补码（complement)。 2012-8-28 18
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解：按照移位加的算法，有
乘 数
被乘数 1100
部分积 0000 1100
1 0 0 1 乘数为1，加被乘数到部分积上
被乘数左移1位
乘数为0，只将被乘数左移1位 乘数为0，只将被乘数左移1位 乘数为1，加被乘数到部分积上
11000
110000
在舍弃进位的条件下，减去某个数可以用加上它的补 码来代替。这个结论同样适用于二进制数的运算。
1011-0111=0100的减法运算，在舍弃进位的条件下， 可以用1011+1001=0100的加法运算代替。
1001是0111对模16的补码。 2012-8-28
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带符号二进制数的减法运算
二进制数的补码表示 补码或反码的最高位为符号位，正数为0，负 数为1。 当二进制数为正数时，其补码、反码与原码相 同。 当二进制数为负数时，原码符号位不变，将原 码的数值位逐位求反，然后在最低位加1得到补 码。
二进制数的除法运算能通过若干次的“除数右移1 位”和从被除数或余数中减去除数这两种操作完 成。
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例7. 计算两个二进制数1010和111之商。
解：
1.0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 KK 余数
反码
00011010 11100101 00101101 11010010
补码
00011010 11100110 00101101 11010011
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在两个同符号数相加时，它们的绝对值 之和不可超过有效数字位所能表示的 最大值，否则会得出错误的计算结果。 溢出
例9 试用4位二进制补码计算5+7。 解：因为(5+7)补=(5)补+(7) 补
所以，10110110＋00101100＝11100010
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2. 减法运算


规则：
0－0＝0 1－0＝1 借位为0 借位为0


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1－1＝0
0－1＝1
借位为0
借位为1
5

例：计算11000100－00100101 解： 借位 0111 1110

第二节 二进制算术运算
二进制算术运算的特点
反码、补码和补码运算
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一、二进制算术运算的特点
当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之 间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。
二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相 同， 唯一的区别在于二进制数是“逢二进一”而不是 十进制数的“逢十进一”。


所以，1100×1001＝1101100
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另外，乘法运算也可以采用加法和左移的方法实
现，算法如下：

1）令部分积＝0； 2）如果乘数的当前位＝1，则将被乘数加到 部分积上，否则不加；


3）将被乘数左移1位；
4）转到2），直到乘数的所有位都检查完。 下面，用加法和左移的方法重做上例。
被减数
减数 差
1100 0100
0010 0101 1001 1111

所以，11000100－00100101＝10011111
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例3 .计算两个二进制数1010和0101的和。
解：

1 0 1
0 1 1
1 0 1
0 1 1
例4. 计算两个二进制数1010和0101的差。 解：
1100000
1101100
运算结束，被乘数不再左移

所以，1100×1001＝1101100。可以看出，这与前一种方法的结 果是一样的，但后一种方法更便于计算机实现，因为移位是计算机的 2012-8-28 12 一种最基本的操作。
除法运算
1.11… 0101 1001 0101 1000 0101 0110 0101 0010
+13 +10 +23 -13 +10 -3 0 01101 0 01010 0 10111 1 10011 0 01010 1 11101 +13 0 01101 1 10110 -10 +3 （1） 00011 0 1 10011 -13 1 10110 -10 1 -23 （1） 01001
若将两个加数的符号位和来自最高有效数字位的
×0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 + 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
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例6：计算1100×1001 解：按照十进制乘法的运算过程，有 1100 × 1001 1100 0000 0000 1100 1101100
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1. 加法运算
规则：
0＋0＝0
0＋1＝1
进位为0
进位为0

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1＋0＝1 1＋1＝0
进位为0 进位为1
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例：计算10110110＋00101100
解：
进位
0111 1000


被加数
加数 和
1011 0110
0010 1100 1110 0010
进位相加，得到的结果（舍弃产生的进位)就是 和的符号。
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二进制补码转换为十进制的步骤
（1）如果二进制补码为正数（符号位为0），直
接进行二进制—十进制转换。 （2）如果二进制补码为负数（符号位为1），其 十进制求法如下：
①将二进制补码按位求反； ②加1得到二进制数原码； ③进行二进制—十进制转换。 例111101补=100010求反+1=100011= -310 101001补=110110求反+1=110111= -2310
=0101+0111
0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0
=1100
解决溢出的办法：进行位扩展。
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1
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溢出的判别
如何判断是否产生溢出？
)
)
4 3 7
2 6 8

0 0 0
1 0 1
0 1 1
0 1 1
)
பைடு நூலகம்
5 3 8
1 1 1
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二进制算术运算的特点 算术运算：1、和十进制算数运算的规则 相同 2、逢二进一 特 点：加、减、乘、除 全部可以用移位和 相加这两种操作实现。简化了电路结构
所以数字电路中普遍采用二进制算数运算
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二、反码、补码和补码运算
有符号二进制数的表示 :
二进制数的最高位表示符号位，且用0表示
N n (2 1) N
(当N为正数） (当N为负数）
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( N )INV
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[例10]：写出带符号位二进制数00011010（+26）、 10011010（-26）、00101101（+45）和10101101 （-45）的反码和补码。
原码
00011010 10011010 00101101 10101101
1 0 0
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0 1 1
1 0 0
0 1 1
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3. 乘法运算

规则： 0×0＝0
0×1＝0
1×0＝0 1×1＝1 二进制乘法的运算方法与十进制乘法的运算 方法类似。 2012-8-28
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例5. 计算两个二进制数1010和0101的积。 解：
1 0 1 0
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休息一下
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2. 二进制补码的减法运算 减法运算的原理:减去一个正数相当于加上一个负数 AB=A+(B)，对(B)求补码，然后进行加法运算。 例8 试用4位二进制补码计算52。
解：因为(52)补=(5)补+(2) 补 =0101+1110 =0011 所以 52=3
0 1 0 1 1 1 1 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0
1
0 0 1
0 1 0
1 1 0
0 0 0
)
3 6 9

1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 0 1
0
1
当方框中的进位位与和数的符号位（即b3位）相同 时，则运算结果是错误的，产生溢出。
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[例10]：用二进制补码运算求出13+10、13-10、 -13+10、-13-10。