专题6《轴对称之最短路径》

专题6《轴对称之最短路径》

破解策略

用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：

1．已知：在直线l 同恻有A ．

l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．

作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结

A '

B ，与直线，的交点就是点P

2．已知：在直线

l 同侧有A ，

B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小

的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P

3．已知：在直线l 同侧有A ，B

两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大

作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P

A

l

A '

A

l

l

A

l

4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小，

作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "，连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则此时AC '＋CD ＋DB 最小．

5．已知：在MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小．

作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ，OM 的交点就是点Q ，R ． 6．已知：在MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小 作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作P 'Q ON ，垂足为Q ，P 'Q 与射线ON 的交点就是R ．

∠∠

⊥

A

l

a

l

N

N

7．已知：在MON 内有两点P ，Q ，在边OM ，ON 上分别找点R ，S ．使得PR ＋RS ＋SQ 最小．

作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作点Q 关于射线ON 的对称点Q '，连纳P 'Q '．与射线OM ，ON 的交点就是R ，S ．

例题讲解

例1 （1）如图1，等边△ABC 中，AB ＝2，E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上作出点P ，使BP ＋EP 的值最小，并求BP ＋PE 的最小值．

（2）如图2，已知⊙O 的直径CD 为2，的度数为60°，点B 是的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，并求BP ＋AP 的最小值．

（3）如图3，点P 是四边形ABCD 内一点，BP ＝m ，∠ABC ＝α，分别在边AB ，BC 上作出点M ，N ，使△PMN 的周长最小，并求出这个最小值（用含m ，α的代数式表示）．

图1 图2 图3

解

AC AC

C

D

C

C

B

Q

N N

（1

B 关于AD

的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ）；

（2B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于一点，这点就是所求的点P ）；

（3

）分别作点P 关于边AB ，BC 的对称点E ，F ，连结EF ，分别与边AB ，BC 交于点M ，N ，线段EF 的长度即为△PMN 的周长的最小值． 如图，连结BE ，BF ，

∠EBF ＝2∠ABC ＝2α，BE

＝BF ＝BP ＝m ．过点B 作BH ⊥EF 于点H ，

所以∠EBH ＝∠EBF ＝α，EH ＝FH ．

在Rt △BEH 中，sin α＝

，所以EH ＝BE ·sin α＝m ·sin α，所以EF ＝2m ·sin α，

即PM ＋PN ＋MN ＝EF ＝2m ·sin α．

例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别以点A （2，3），B （3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，求PM ＋PN 的最小值．

解 如图，作⊙A 关于x 轴的对称图形⊙A ´，连结A ´B ，与x 轴交于点P ，与⊙A ´交点为M ´，与⊙B 交点为N ，连结PA ，PA 与⊙A 交点为M ，则此时PA ＋PB 值最小，从而PM ＋PN 值也最

H N

M

F

E P

A

C

D

B

P

C D

A

B

C

D

E

1

2

EH

BE

小，最小值为线段M ´N 的长．

如图，易得A ´（2，－3），由两电间距离公式得A ´B ＝

．故M ´N

＝－4，即PM

＋PN ＝4．

例3 如图1，等边△ABC 的边长为6，AD ，BE 是两条边上的高，点O 为其交点．P ，N 分别是BE ，BC 上的动点．

图1 图2

（1）当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；

（2）如图2，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，求QN ＋NP ＋PD 的最小值．

图3 图4

解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D 关于BE 的对称点D ´在AB 上，且为AB 的中点．

如图

3，过点D ´作BC

的垂线，垂足为N ´，D ´N 交BE 于点P ，连结PD

´，则PD ´＝ P D ． 此时D ´N 的长度即为PN ＋PD 长度的最小值． 显然D ´N ∥AD ，即点N 为BD 的中点．

所以BN ＝BC ＝，

从而BP ＝

．

（2）如图4，作点Q 关于BC 的对称点Q ´，则BQ ´＝1，∠CBQ ´＝30°．点D ´是点D 关于BE 的对称点，连接D ´Q ´，交BE 于点P ，交BC 于点N ． 此时D ´Q ´即为QN ＋NP ＋PD 的最小值． 显然∠D ´BQ ´＝90°，

所以D ´Q Q O N E

P

B

D

C

A

A

C

D

B

P

E

N

O Q '

D 'A

C

D

B

P E

N

O

Q

D '

O N

E

P

B

D

C

A

143

2cos BN

PBN

∠