三角形四心与向量

三角形的四心与平面向量总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;
ABC 若 O 是
的重心，则 S BOC
S AOC
S AOB
1 3 S ABC 故
PG
1 3
(
PA
PB
PC )
G
为 ABC 的重心.
OA OB OC 0 ;
2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，
得 GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例 5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 PG 1 (PA PB PC) .
3 证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)
件可以写成 OA (e1 e3 ) OB (e1 e2 ) OC (e2 e3 ) 0 ，O 是 ABC 内心的充要条件也可以是
aOA bOB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC：S AOC：S AOB a：b：c
故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sinBOB sinCOC 0;
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例 4． G 是△ABC 所在平面内一点， GA GB GC =0 点 G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右，图中 GB GC GE 连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上 的中线.
OA (
AB
AC )
OB (
BA
BC ) OC ( CA
CB ) 0
4．O 是内心 ABC 的充要条件是
| AB | AC
| BA | | BC |
| CA | | CB |
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB, BC,CA 的单位向量为 e1 , e2 , e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条
例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
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D．垂心
解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0 则 PB CA,同理PA BC, PC AB 所以 P 为 ABC的垂心. 故选 D.
| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P 是 ABC 的内心;
A
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直
e1
| AB | | AC |
C
线)；
B
e2
C C
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
P
例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,
例 7 若 O 为 ABC 内一点， OA OB OC ，则 O 是 ABC 的（
）
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例 8．已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1， 求证 △P1P2P3 是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）
D．重心
解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则 OB OC OD ，
由平行四边形性质知 OE 1 OD ， OA 2 OE ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。 2
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC 由此可得 PG 1 (PA PB PC) .（反之亦然（证略））
3
例 6 若 O 为 ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的（
）
A．内心
B．外心 C．垂心
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,
-1-/1
同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
证明
由已知 OP1
+ OP2
=- OP3
，两边平方得 OP1
· OP2
=
1 2
，
同理
OP2
· OP3
= OP3
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
3．O 是 ABC 的外心
|
OA
||
OB
||
OC
|
(或
2
OA
2
OB
2
OC )
若 O 是 ABC 的外心则 SBOC：SAOC：SAOB sinBOC：sinAOC：sinAOB sin2A : sin2B : sin2C
故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0
AB AC
则 P 点的轨迹一定通过 ABC的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为 AB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ， 又 OP OA AP ，则原 AB
式可化为 AP (e1 e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC，那么在 ABC 中，AP 平分 BAC，则知选 B.