简述欧几里德《几何原本》与公理化思想

简述欧几里德《几何原本》与公理化思想

摘要：古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。该巨著产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展，对数学的发展也有着重大的影响。

关键词：欧几里得；几何原本；公理化思想

一、欧几里得

“几何无王者之道”，说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前330~公元前275)，他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成员。他是论证几何的集大成者，关于他的生平我们了解的甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典，在公元前300年左右，应托勒密王的邀请到亚历山大城教学。他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(On Divisions)、《现象》(Phenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrical)等，在这些著作当中，最著名的莫过于《原本》了，根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》。

当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。”遂一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧训练，就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。

二、欧几里得与《几何原本》

在众多欧几里得的成就中，最著名的就是《几何原本》，这是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，且这是人类科学史上的一个创举, 是最早一本内容丰富的数学理论著作。

很多人会问：这样一篇著作又是怎么完成的呢？其实最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济

的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。

《几何原本》共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题。在其第1卷给出了一些最基本的定义，如点、线、面、圆等等，并给出了5条公里和5条假设。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点，第1、2、3、4和6卷中包含了平面几何的一些基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等；第2和6卷书中涉及“几何代数”的内容；第5卷讲比例论；第7、8、9卷是关于数论的内容，其中论述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里得算法；第10卷讨论不可度量；而最后三卷主要是立体几何的内容。这是一本集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，几何学正是因为有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。

但是，由于所处时代的限制, 书中难免存在不足。第一是用了重合法。重合完全是一种经验性质的事情，不属于纯直觉知识，而是属于外部感官的经验。另外，重合法预先假定了图形的可移动性；但是，在空间中能移动的是物质，因此超出了几何的范围。第二是有些定义含糊其词而另一些无关宏旨。开头关于点、线、面的定义没有明确数学的含义，而且不可能给出任何明确的含义，因为任何独立的数学讲解必然要用些未加定义的名词。

尽管《几何原本》存在以上的缺陷，但是就欧几里得所处的时代而言，其论述已经够严密的了。《几何原本》所存有的缺陷，事实上也是向后来的数学家提供了一些值得研究的逻辑问题，而这些问题随着社会经济、科技文化的发展逐步地得到了深入的研究，并得到了完善的解决。

三、公理化思想及其发展

《几何原本》的主要特色是: 从最初给出的一些定义、公设、公理出发，运用直观与逻辑相结合的方法，把当时所积累的几何知识编排成为比较完整的几何学演绎体系。这些最初的定义、公设、公理是指该书第一卷开头所给出的23个定义和10个基本命题。欧几里得的《几何原本》中论证问题时，除了用这些定义缓和基本命题作依据外, 还时常凭借对讨论对象（几何图形）的直接观察而做出直觉的判断。这种直觉与逻辑相结合地论证问题的方法, 现在常常被人们称为古典公理法。

《几何原本》是人类科学史上的一个创举，是最早一本内容丰富的数学理论著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演泽的数学体系的最早典范。它把公元前三世纪以前人类所积累的经验几何和早期的推理几何所汇集成的庞大的几何资料，创造性的加工、整理成为一个完整的理论体系，为几何学的发展奠定了坚实的基础。虽然个别命题的陈述方式并非欧几里得所独创，但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理（定理的编排也是从简单的到愈来愈复杂的），是欧几里得所独创的。

四、总结