材料力学截面的几何性质课件

Sz 210000mm3
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩
定义
Ip
2dA
A
为图形对坐标原点o的极惯性矩。 极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长 度]4，常用单位为m4和mm4。
z y

o
A dA
z y
惯性矩
z
Iy
z2dA,
A
I
z

y2dA
A
y
分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯
A
b
2 b
2
y 2 hdy

b3h 12
I z1 I z2
y 2dA
A
b y2hdy b3h
0
3
z1
zcdy z2
h 2 dA
C
yc
h2
b2 b2
圆形
直径为d的圆形，选取图示圆环形积分 微元，
Ip
2dA
A
D 2
2 3d


D4
0
32
Iy

Iz

1 2
A
yy
dA dA o
z y
2.5 常见图形的惯性矩、惯性积
1. 均质矩形板
质量为m，长度为l的均质杆，建 立图示坐标系，则有
I yc
z2dA
A
h 2 z2bdz bh3
h 2
12
z1
zc
z2
dz
h 2 dA
z
C
yc
h2
b2 b2
很容易得到下列结果
Izc
y2dA
组合截面对X、Y轴静矩的计算：
n
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标；
组合截面对某一轴的静矩应等 于其各组成部分对该轴静矩的
代数和。
n——全部简单图形的个数。
n
确定组合截面形心位置的公式：
z y

o
A dA
z y
惯性积
定义
I yz
yzdA
A
z A
y
dA
为图形对y、z轴的惯性积 。

z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
z
I yz
yzdA 0
或
iy
Iy A
,iz

Iz A
iy和iz分别称为图形对于y 轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为 正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯
性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。
由于
2 y2 z2
则
Ip
2dA
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
I
p

D 4
64
z d

oy
D
圆环形
IP
D
2 d
2
2 3d

D4
32

d 4
32
(D4 d 4 ) D4 1 4
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
Iy
Iz

1 2 Ip
D4
64
1 4
由于y轴为对称轴，故
I yz 0
z y
d D
平行移轴定理
对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于 形心C的坐标系Cyczc，由定义
z
I yc A zc2dA, Izc A yc2dA
及坐标变换公式
zc y b yc dA
zc C
a
yc z
y yc b
o
yC
A ydA Sz AA
y
z dA
(1)若z、y轴通过形心C，则
yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。
即：截面对其形心轴的静矩等
C
zC y yC
于零。反之，若截面对某轴的 静矩为零，则该轴必过其形心。
(2) 对于有对称轴的截面,
z
对称轴必然是形心轴.
3
附录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。
b
Sx

A yc 1

b(h 2

y
1
)

1( 2
h 2
y1 )

b( h2 8

4 y12
)
例2、图形对 x 轴的静矩为
s
y dA
h
y
b(h

y)dy

1
bh2
x
A
0
h
6
形心坐标yc为
y s c
y A

1 b h2
6
1bh
1 3h
2
y
h o
dy
b( y) y

性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性 o
矩是恒正的量。
A dA
z y
惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。
惯性矩的大小不仅与图 形面积有关，而且与图形面 积相对于坐标轴的分布有关。
z A
y
dA
面积离坐标轴越远，惯性矩 越大；反之，面积离坐标轴

z
越近，惯性矩越小。
o
y
惯性半径
定义
I y Aiy2, Iz Aiz2
zIc 45mm

yII
c
60mm
zIIc 45mm
90

AI

9000mm
2

AII

4000mm 2
II 20
20
2
2
100
y
Sy S yi Ai zci AI zcI A zII cII
i1
i1
9000 45 4000 45 225000mm 3
x
b
例3、求左图示组合图形的静矩。
解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形， 要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。
z 100
20
90 20 20 y 100
z
I
100
20
90
II
20
20
100
y
对图形I和图形II,有
z
I
100
20

yI
c
50mm
附录
附录Ⅰ 截面的几何性质
§Ⅰ-1 截面的静矩和形心位置 §Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径 §Ⅰ-3 平行移轴公式 §Ⅰ-4 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩）
截面对z轴的静矩： Sz dSz ydA
A
A
y
截面对y轴的静矩： S y dS y zdA
Ai xci
xc
i n
Ai
i
n
Ai yci
yc
i n
Ai
i
附录
例题
一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试
求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。
yc 1 y1
Y
解：
H/2
A

b(h 2

y1 )
C
H/2
X
yc1

y1

1(h 22

y1 )
1(h 22

y1 )
A
A
z
dA
y
① 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言 的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也 就不同；
② 静矩的数值可正、可负、也可等于零；
z
③ 静矩的量纲是长度的三次方。
2
二、静矩与形心的关系
由力矩的等效关系得到静矩的
zBaidu Nhomakorabea
另一公式：
形心坐标
zdA
A

Sy
AA
Sz A yc Sy A zc