流体静力学基础

pz
pn
1 2
gdz
0
pz pn
综上： px py pz p（n 2-3）
注：
1. 对运动的无粘流体，差别是动平衡关系式中多了一项 惯性力，而惯性力是质量力，也是三阶无限小量，和 重力同时略去，可以得出和式（2-3）相同的结果。
2. 对于运动的粘性流体，由于产生切应力，一点处的法 向应力是随对于运动的无粘性流体，和上面讨论所不 同过该点的作用面在空间的方位变化而变化的。这时 一点处的压强是由过该点任意3个互相垂直的微元面积 上的法向应力的算术平均值确定。
1、直线等加速运动
液体容器如图（2-5）示，
将坐标系与小车固连有：
x
a
R
a cosi
a sin
g k
a
gR
p a cos
x
p 0 y
p a sin g
z
（2-4）
图2-5 直线等加速运动的液体
dp a cosdx a sin gdz
p ax cos zg asin C（2-12）
对式（2-12）分以下几种情况加以分析：
1）等压面为倾斜平面 在等压面上，压强为常数，故由式（2-12）可得等压面 方程为
z a cos x 常数 （2-13） g a sin
即等压面斜率为 a cos g asin 平面 。
2）自由液面为倾斜平面
➢ 自由液面（ p pa ）为等压面，也是倾斜平面。
dz
g
为常数
p z C （2-6）
参照图（2-4）
p h C （2-7）
液面压强为 p0
p p0 h （2-8）
二、大气结构与国际标准大气
➢ 大气结构 ➢ 国际标准大气
1、大气结构
层名
高度 参数（P、 T、 （km） ρ）
运动
其它
对流层 0-11 同温层 11-24 中间层 24-85
包括法向力 Fn 和切向力 Ft 。
z
静止流体
ΔFn
ΔF
（v=0,dv/dy=0）
Ft 0
定
ΔS A ΔF
运动的无粘性
F Fn
义
V
流体（µ＝0）
S
压 强
o
y
x
图2-1 分析表面 面力示意图
p lim Fn dFn （2-2）
S S So
dS
压强特性： ① 方向沿着作用面的内法线方向；
② 在静止流体或运动的无粘性流体中，数值 与所取作用面的空间方位无关。
对流层和平流层压强公式推导
对流层： （2-5） 将（2－9）
dp gdH p RT
dp g dH p RT
代入积分 ln p
g
ln 288 0.0065H C
0.0065R
H 0, p p0 1.0133bar
g
p
1
0.0065H
0.0065R
p0
288.2
（2-4a） （2-4b）
2.3 静平衡微分方程的应用
➢ 重力作用下流体内部的压强 ➢ 大气结构与国际标准大气 ➢ 流体的相对平衡
一、重力作用下流体内部的压强
参照图（2-3）：
Z＝－g Y＝0 X＝0
p g
z
p 0 y
p 0 x
z
o
y
x
h
图 2-4 静止流体中的压强
dp g （2-5）
1）空气被看作是完全气体；
2）大气的相对温度为零；
3）以海平面高度计算为起点（H＝0）海平面处：
T0 288.2K
p0 1.0133105 N m2
0 1.225 kg m3
4）在高度11000米以下，T 288.2 0.0065H （2-9）
5）在H=11000~24000m左右，气温保持不变，T=216.7K。
如重力、惯性力和哥氏力。
用 R表示作用在单位质量流体上的质量力，X、Y、Z
分别表示其在坐标轴x、y、z方向上的分量，即
v r Rr Xi Yj Zk （2-1） 式中 i 、j 、k 分别表示沿坐标轴x、y、z上的单位向量。
二、表面力：
压强定义：
① 作用在流体表面； ② 由相接触的流体或物体作用产生。
随H↑而↓
T不变，平均 216.7K
H↑T先↑后↓
水平、垂直 各种天气现象
水平
也称平流层
－－
－－
电离层 85-800 H↑T迅速↑
－－
空气已电离
外层 800外
－－
－－ 空气极其稀薄
注：现代军用飞机只能在对流层和平流层中飞行。
2．国际标准大气
国际航空界按照中纬度地区各季节中大气的平均值共同规定 了一种国际标准大气：
3. 它描述了静平衡时压强、密度和单位质量的质量力 之间的关系。
二、流体静平衡微分方程的证明
表面力＋体积力＝0
Y方向：
p dxdydz Y dxdydz 0
y
z
p Y
e e
- p
p dy y2
A(x,y,z)
dz
p
dx dy
e e
p dy
y
y2
同理：
p X
x
y
p Z
z
x
图2-3 推导流体静平衡微分方程 即 p R
静止流体的 特性2证明：
z
c pndSn
d
dz
pydxdz
oA
dx
px-12dzdy
dy
a
y
b
x
图2-2
pzdxdy e
静止或无粘流 体上的表面力
pydxdz pndsn sin 0
dsn sin dxdz
py pn
同理: px pn
pz
dxdy
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pndsn
cos
1 2
gdxdydz
0
dsn cos dxdy
（2-10）
平流层： 同理：
g H1 H
p e 216.7 R p1
（2-11）
注： 有了以上T、p的计算式，就可以制出国际大气表。
三、流体的相对平衡
对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微 分方程式（2-4）来研究其压力分布规律。下面以两个具体 的例子来说明： ➢ 1、直线等加速运动; ➢ 2、等角速度旋转容器中液体的平衡。
2.2 流体静平衡微分方程
➢ 流体静力学平衡微分方程及应用 ➢ 流体静力学平衡微分方程的证明
一、流体静平衡微分方程
p R
向量形式 （2-4）
1. 上式即为流体静平衡微分方程式，也称它为欧拉静 平衡微分方程式。
2. 表明在静止流体中，压强的变化和质量力密切相关。 压强变化的方向即为质量力不等于零的方向； 压 强在垂直于质量力的方向保持不变，即等压面和质 量力垂直。
第二章 流体静力学基础
➢ 作用在流体上的力 ➢ 流体静平衡微分方程 ➢ 静平衡微分方程的应用 ➢ 静止流体的作用力 ➢ 流体压强的测量
2.1 作用在流体上的力
作用力的分类： 作 用 力
质量力 表面力
一、质量力:
① 作用于每一个流体质点； ② 与流体体积或质量成正比； ③ 与体积以外的流体的存在无关。