(精品)专题七二次函数特殊四边形的存在性问题

例题解图③
∴N点坐标为(2，－1)．
综上所述，点N的坐标为( 3 17 ，7 17 ) ， ( 3 17 ，7 17 ) ，(2，－1)；
2
2
2
2
(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点， 点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如 果存在，请求出点P的坐标；
例题图①
解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得
a b c 0
9a 3b c 0 ，解得
a 1 b 4
，
c 3
c 3
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
把y＝x2－4x＋3化成顶点式为y＝(x－2)2－1，
2
2
∴点N的坐标为( 3 17 ，7 17 )或( 3 17 ，7 17) ；
2
2
2
2
例题解图②
(ⅱ)当点M在点N的右边时，设点N′的坐标为(m，m2－4m＋3)， 则点M′的坐标为(m＋2，－m＋1)， ∵四边形ABM′N′是平行四边形， ∴m2－4m＋3＝－m＋1，解得m＝1或2， ∵当m＝1时，点N与点A重合，故舍去； 当m＝2时，m2－4m＋3＝－1， ∴点N的坐标为(2，－1)；
将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：
3k b b 0

0，解得
k b
1 3
，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
例题解图①
∵点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形
是以OC为边的平行四边形，∴GH⊥x轴，GH＝OC， ∴设G点坐标为(n，－n＋3)，H点坐标为(n，n2－4n＋3)，
即为
组成平
所有
行四边
点P
形
求点坐标
①分别求出直线P1P2， P2P3，P1P3的解析式， 再求出交点即为P点； ②可由点的平移来求坐 标
已知平面上两个点A、 分两种情况讨论：
①通过点的平移，
B，求两点P、Q，使 ①若AB为平行四边形的边， 构造全等三角形
得A、B、P、Q四个点 将AB上下左右平移，确定P、 来求坐标；
∵GH＝OC＝3，
∴GH＝|n2－4n＋3－(－n＋3)|＝|n2－3n|＝3，
当n2－3n＝3时，
解得n＝3 21 ；
2
当n2－3n＝－3时，方程无解；
例题解图①
∵当n＝
3

2
21
时，n2－4n＋3＝
9
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2
21
；
当n＝ 3 21 时，n2－4n＋3＝ 9 21 .
2
2
综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是
∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2；
(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的 形状，并说明理由；
【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边
形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CD∥AB，再设法
证明AB＝CD即可．
例题图②
解：四边形ABDC是平行四边形． 理由如下： ∵D点在抛物线的对称轴上，CD∥x轴， ∴D点的横坐标为2，即CD＝2， ∵A (1，0)，B(3，0)， ∴AB＝2， ∴AB＝CD， 又∵CD∥AB， ∴四边形ABDC是平行四边形；
典例精讲 例 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A (1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；
【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C
三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，解方程组即可；把 抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标 和对称轴．
平行四边形，点H的坐标为( 3 21 ，9 21 )或( 3 21 ，9 21 ) ；
2
2
2
2
(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得
以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐
标；
【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长
专题七 二次函数综合题
类型三 特殊四边形的存在性问题
【方法指导】
(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2))
①平行四边形的判定
已知
已知 三个
点
问题
找点
已知平面上不共线三 连接AB、AC、BC，分别
个点A、B、C，求一 过点A、B、C作对边的平
点P，使得A、B、C、行线，三条平行线的交点
P四个点
②当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图③，AB与
MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJ＝NJ＝BJ＝MJ，
设M(m，－m＋3)，N(n，n2－4n＋3)，
则有 m n ＝2， 2
－m＋3＋n2－4n＋3＝0，
整理，得n2－3n＋2＝0， 解得n1＝1(舍去)，n2＝2，
边还是右边)，如解图②，
(ⅰ)当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m2－4m＋3)，
则点M的坐标为(m－2，－m＋5)，∵四边形ABNM是平行四边形，
∴m2－4m＋3＝－m＋5，解得m＝ 3 17 ，
2
当m＝
3

2
17时，m2－4m＋3＝7
2
17
；
当m＝ 3 17 时，m2－4m＋3＝ 7 17 .
(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G
和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
求出点H的坐标；
【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的
长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与
OC相等，据此可求出点H的坐标．
例题图③
解：存在，如解图①， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨
论：当AB为边时，则MN∥AB，且MN＝AB，据此可求出
点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从
例题图④
而确定点N的坐标．
解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左
组成平行四边形(题目 Q的位置；②若AB为平行四边 ②由中点坐标公
已知 中P、Q的位置有具体 形的对角线，取AB中点，旋 式可推出：坐标
两个 限制) 点
转经过中点的直线确定P、Q 系中▱ABCD的四
的位置
个点A、B、C、D
的坐标满足xA＋xC ＝xB＋xD；yA＋yC ＝yB＋yD
②矩形、菱形的判定方法参照①中平行四边形的判定．