小波变换(内附奇异值分析matlab程序)

4、应用及与以后研究的结合
（1）小波的应用
小波分析作为一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样 调分析、数值分析的完美结晶。被广泛用于数学领域的许多学科；信号分 析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数 据处理；大型机械的故障诊断等方面； 比如用在故障诊断中的应用 小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功，小波分析不仅 可以在低信噪比的信号中检测到故障信号， 而且可以滤去噪声恢复原信 号，它可以用于边界的处理与滤波、时域分析、信噪分离与提取弱信号、 求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
1层的高频系数分别进行重构 d=wrcoef('d',c,l,'db6',7-i);
傅里叶分析图像
1 0.5 0 -0.5 -1
0
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1000
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0
0
200
400
600
800
1000
1200
小波分析图
1 0 -1 2 0 -2 x 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
程序代码
load nearbrk; x=nearbrk; %使用db4对信号进行2层分解 [c,l]=wavedec(x,2,‘db4’); subplot(411); subplot(4,1,i+2); plot(x); plot(d); ylabel('x'); ylabel(['d',num2str(3-i)]); %对分解的第六层低频系数进行重构 end a=wrcoef('a',c,l,'db4',2); subplot(412); plot(a); ylabel('a2'); for i=1:2 %对分解的第2层到第1层的高频系数 进行重构 a=wrcoef('a',c,l,'db4',3-i);
ψa,b(t)= a -1/2 ψ(t-b/a), a,b∈R,a≠0 ∈ ≠
ψa,b(t)称之为依赖于参数a，b的小波基函数，将信号在这个函数 系上分解，就得到连续小波变换。 。
小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间信 息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小 波和局部信号之间的相互关系。
运行结果
4000 2000 0 4000 a2 2000 0 0.5 d2 0 -0.5 0.5 d1 0 -0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 x
d5
d6
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100 100 100
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300 300 300
400 400 400
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600 600 600
700 700 700
800 800 800
900 900 900
1000 1000 1000
0.5 0 -0.5 0.5 0 -0.5 0.5 0 -0.5
（1）第一类型间断点的检测 第一类型间断点的检测 在本例中，信号的不连续是由于低频特征的正弦信号在后半部分 突然有高频特征的正弦信号加入，首先利用傅里叶变换分析对信号在 频域进行分析，发现无检测突变点，接着利用小波分析进行分析，结 果证明它能够准确地检测出了信号幅值突变的位置，即高频信号加入 的时间点。
小波变换介绍
主要内容
1、小波变换简介 2、小波变换的算法及其实例分析 3、小波变换的优缺点 4、应用及与今后研究的结合
1、小波变换简介
传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变 换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开 始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。 小波(Wavelet) ，顾名思义“小波”就是小区域、长度有限、均值 为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性，而称之为“波”则是指它 的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。 小波的基函数 将小波母函数ψ(t)进行伸缩和平移，令伸缩因子（尺度因子）为a， ψ(t) 平移因子为b，则：
d1
d2
d3
0
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由两组图对比可以看出，由于傅里叶变换不具有时间分辨力，因此 无法检测信号的间断点。而在小波分析的图中，在信号的小波分解的第 一层高频系数d1和第二层高频系数d2中，可以非常清楚地观察到信号的 不连续点，用db1小波比用db6小波要好。 同时，这个例子也表明小波分析在检测信号的奇异点时具有傅里 叶变换无法比拟的优越性，利用小波分析可以精确地检测出信号的突变 点。 (2)第二类型间断点检测 (2)第二类型间断点检测 在本例中，信号是由两个独立的指数方程的信号在t-500处连接起来 的。因为它看上去是光滑的，但是信号具有一阶微分，且一阶微分有间 断点。利用小波对它进行分析，看其能否准确地检测出信号一阶微分的 不连续点。
a6
0 0 0
100 100 100
200 200 200
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600 600 600
700 700 700
800 800 800
900 900 900
1000 1000 1000
0.5 0 -0.5 0.5 0 -0.5 2 0 -2
d4
不足之处：
小波变换是非平稳信号处理的有力工具，虽然小波变换有多 种小波基函数可以供选择，但一旦小波基函数选定后，其特性就固 定，各个尺度上的小波函数通过尺度和平移变换获得， 由于信号 每分解一次，逼近信号和细节的长度减小一半。 在不同尺度上得 到的逼近信号特征之间存在差异，小波变换时采用以个基函数导出 的小波函数难以在不同尺度上准确地逼近局部信号特征，因此降噪 预处理时的重构信号会丢失原有的时域特征。
CWT变换过程图示
（2）离散小波变换
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相 当大， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因 子和平移参数都选择为2j（j>0且为整数）的倍数， 即只选择部分缩放 因子和平移参数来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换 （Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双 尺度小波变换。 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。
（2）与以后研究的可能结合 轴承、齿轮箱故障信号的分析方面；
汇报结束 谢谢！
代码程序
load freqbrk; ylabel('x'); x=freqbrk; %对信号进行傅里叶变换 %对分解的第六层低频系数进行重构 f=fft(x,1024); a=wrcoef('a',c,l,'db6',6); f=abs(f); subplot(812); figure; plot(a); subplot(211); ylabel('a6'); plot(x); subplot(212); plot(f);%使用db6小波进行6层分解 subplot(8,1,i+2); [c,l]=wavedec(x,6,'db6'); plot(d); figure(2); ylabel(['d',num2str(7-i)]); subplot(811); end plot(x); for i=1:6 %对分解的第6层到第
一、连续小波变换（CWT）
1、把小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较。 2、计算系数c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c 可以反映这种波形的相 关程度。 3、把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为ψ(t-k)，然后重复步 骤1和2。再把小波向右移，得到小波ψ(t-2k)，重复步骤1和2。按上 述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束。 4、扩展小波ψ(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)。 5、重复步骤1~4。
Байду номын сангаас
2、算法及其应用实例
小波在信号的奇异性检测中的应用举例 信号的突变点和奇异点等不规则部分通常包含重要信息，一般信号 的奇异性分为两种情况： （1）信号在某一时刻其幅值发生突变，引起信号的非连续，这种类 型的突变称为第一类型的间断点； （2）信号在外观上很光滑，幅值没有发生突变，但是信号的一阶微 分有突变发生且一阶微分不连续，这种类型的突变称为第二类型的间 断点。 应用小波分析可以检测出信号中的突变点的位置、类型以及变 化的幅度。
3、小波分析的优缺点
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能 有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进 行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能 解决的许多困难问题。 小波变换存在以下几个优点： 小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不 同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分 辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分 析窗口) 。 (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)。