正态分布及其应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.进入20世纪，在哥赛特，费歇尔等人研究得出了小样本理论之后，正态分布在数理统计中的重要性得到了进一步加强.在20世纪后，由于科学技术的进一步发展，统计学研究工作者得到的实验数据更加的精准，实验结果也更贴近现实，统计分析出的研究结论也获得了大众的广泛认同
(3) 在对称轴的两边 处正态曲线有拐点, 的取值范围为整个 轴,当 时,曲线以 轴为渐进线[4].
3.3 参数 和 的意义
正态分布有两个参数,分别是 和 , 和 的取值确定后,正态曲线的位置和形状就不在发生改变.若保持 不变,只调整 的大小,图形将顺着 轴向左或向右移动,形状不会发现变化（如图2所示）,可见正态曲线 所在的位置由位置参数 决定.如果固定 ,只调整 的值,则图形在 轴上的位置不发生变化,只有形状会发生变化,因为最大值 ,所以 的值越小则图形越陡峭, 的值越大则图形越平缓,正态分布的概率密度曲线 的形状（高矮胖瘦）完全由形状参数 决定（如图3所示）.
正态分布的研究与应用经历了一个漫长且艰辛的过程，它最开始由数学家狄美孚(De Moivre)发现引入与提出，随后高斯(Gauss)证明了误差服从正态分布理论并将其应用于自然科学的研究中，接着拉普拉斯进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，随后凯特莱又对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新[1].
在我们周围存在着许许多多的随机变量,它们大多数都是服从或近似服从正态分布的.例如,工厂加工某动车零件的使用寿命、一定条件下生长的马铃薯单位面积产量、一个地区成年男性的身高、某地区年降雨量、测量某零件直径的误差、一个学校的学生考试成绩、人类寿命的分布等等.在数理统计里用以进行统计或推断的很多统计量,无论原分布是什么,当样本容量充分大时,这些量都能近似服从正态分布.由此可见,研究正态分布具有非常重要的实际意义,把正态分布应用于生产生活,可以极大程度的提高人类工作生活的便捷性.现目前人们对正态分布的研究已告一段落，但对于正态分布的应用各行业参差不齐，正态分布极高的应用价值还有待我们深入发掘.在前人的基础上了解正态分布的性质，把正态分布更为广泛和深入的应用到生产生活的各个方面，思考正态分布更多应用的可能，才能让正态分布绽放出更加夺目的光彩.
从图像上可以看出, 是拐点所在位置的横坐标, 是对称轴所在位置，在数理统计中, 是标准差, 的大小反映了观测值的分散程度, 是正态分布的数学期望（均值）, 表明了观测值的集中趋势[5].
2文献综述
2.1 国内外研究现状
在参考文献［1］中，陈希孺先生对正态分布的起源和发展做了系统的介绍.文献［2～6］、［8］中系统的讲解了正态分布的相关概念并对其相关定理进行了证明，并给出了一部分例题供大家学习研究.在文献［7］、［9～16］中，国内外不同的研究者都对正态分布的应用性进行了研究，并从不同角度对正态分布在某几个领域的应用做了详细阐述，并附以实例说明.
(3.1.1)
其中 为常数( ),则称随机变量 服从参数为 的正态分布,记为 [2].因为高斯在探究天文学中最先应用了正态分布,并研究了正态分布的性质,所以它又被称为高斯分布.
把正态分布密度函数 建立在坐标轴上得到如图1所示的钟状曲线,这条曲线被称作“正态分布密度函数曲线”,简称“正态曲线” [3].
2.3 提出问题
在正态分布的研究方面目前已经很难有所进展，但是在正态分布的应用上还有待我们继续发掘.对正态分布在不同领域内的应用进行归纳总结，并探索正态分布在各领域的发展前景.使正态分布能够在工作生活中得到更为广泛的应用，这就是本文所要研究的问题.
3 正态分布的相关知识
3.1 正态分布的概念
若连续型随机变量 的概率密度为:
在日常工作生活中我们经常遇到一种目前应用最为普遍的连续概率分布:正态分布.它在数学概率学、统计学的研究上或是在对实际问题的处理中都有着非常高的应用价值.研究正态分布的特性并利用正态分布的性质来处理有关连续型随机变量的问题不仅可以减少人们的工作量，而且极大程度的提高了人们生活的便捷性.通过查阅大量文献，简单地介绍正态分布的概念及其性质，并列举正态分布在医学研究、工业生产、教育评价、仪器测量以及日常生活等方面的应用实例,分析正态分布在这些领域的主要应用形式,总结出正态分布在这些领域的主要应用价值和未来的应用方向,为探索正态分布更加广泛的应用前景提供参考.
2.2 国内外研究现状评价
总的来说，对于正态分布的研究，是很多数学家耗费心血才有了今天的成果，在理论研究上要再取得突破性进展已经很难了.文献［2～6］、［8］已经对正态分布的研究结果充分的展示出来.但是就目前为止，关于介绍正态分布应用在不同领域上的文献还有所欠缺.正态分布的应用仍具有极大的发展前景与研究意义，探索正态分布应用的更多可能性是极具价值的.文献［7］、［9～16］都对正态分布的应用从不同领域进行了分析和呈现，能够引发读者对正态分布应用性的思考.但是目前还缺乏能够完整的对正态分布的应用领域进行分类，对正态分布未来应用前景的探索的文献.
3.2 正态曲线的特性
对式(3.1.1)求导得,
(3.2.1)
令 ,则有 ,即当 时, 有极大值
对式(3.2.1)求导得,
(3.2.2)
令 ,则有 ,即曲线在 处有两个拐点.
表1 正态曲线特性
Байду номын сангаас
正 正 正 0 负 负 负
正 0 负 负 负 0 正
曲线 凹 拐点 凸 极大值 凸 拐点 凹
由上可知正态曲线的特性如下:
(1) 曲线关于 对称,对于任意 有 .
(2) 在 时取到最大值 .正态曲线从最高点 开始向两侧持续降低,形成像钟一样两端低缓,中部突出的图形.因此, 离 越远, 的值越小.也就是离对称轴越远的位置,随机变量 落在上面的可能就越低.
(3) 在对称轴的两边 处正态曲线有拐点, 的取值范围为整个 轴,当 时,曲线以 轴为渐进线[4].
3.3 参数 和 的意义
正态分布有两个参数,分别是 和 , 和 的取值确定后,正态曲线的位置和形状就不在发生改变.若保持 不变,只调整 的大小,图形将顺着 轴向左或向右移动,形状不会发现变化（如图2所示）,可见正态曲线 所在的位置由位置参数 决定.如果固定 ,只调整 的值,则图形在 轴上的位置不发生变化,只有形状会发生变化,因为最大值 ,所以 的值越小则图形越陡峭, 的值越大则图形越平缓,正态分布的概率密度曲线 的形状（高矮胖瘦）完全由形状参数 决定（如图3所示）.
正态分布的研究与应用经历了一个漫长且艰辛的过程，它最开始由数学家狄美孚(De Moivre)发现引入与提出，随后高斯(Gauss)证明了误差服从正态分布理论并将其应用于自然科学的研究中，接着拉普拉斯进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，随后凯特莱又对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新[1].
在我们周围存在着许许多多的随机变量,它们大多数都是服从或近似服从正态分布的.例如,工厂加工某动车零件的使用寿命、一定条件下生长的马铃薯单位面积产量、一个地区成年男性的身高、某地区年降雨量、测量某零件直径的误差、一个学校的学生考试成绩、人类寿命的分布等等.在数理统计里用以进行统计或推断的很多统计量,无论原分布是什么,当样本容量充分大时,这些量都能近似服从正态分布.由此可见,研究正态分布具有非常重要的实际意义,把正态分布应用于生产生活,可以极大程度的提高人类工作生活的便捷性.现目前人们对正态分布的研究已告一段落，但对于正态分布的应用各行业参差不齐，正态分布极高的应用价值还有待我们深入发掘.在前人的基础上了解正态分布的性质，把正态分布更为广泛和深入的应用到生产生活的各个方面，思考正态分布更多应用的可能，才能让正态分布绽放出更加夺目的光彩.
从图像上可以看出, 是拐点所在位置的横坐标, 是对称轴所在位置，在数理统计中, 是标准差, 的大小反映了观测值的分散程度, 是正态分布的数学期望（均值）, 表明了观测值的集中趋势[5].
2文献综述
2.1 国内外研究现状
在参考文献［1］中，陈希孺先生对正态分布的起源和发展做了系统的介绍.文献［2～6］、［8］中系统的讲解了正态分布的相关概念并对其相关定理进行了证明，并给出了一部分例题供大家学习研究.在文献［7］、［9～16］中，国内外不同的研究者都对正态分布的应用性进行了研究，并从不同角度对正态分布在某几个领域的应用做了详细阐述，并附以实例说明.
(3.1.1)
其中 为常数( ),则称随机变量 服从参数为 的正态分布,记为 [2].因为高斯在探究天文学中最先应用了正态分布,并研究了正态分布的性质,所以它又被称为高斯分布.
把正态分布密度函数 建立在坐标轴上得到如图1所示的钟状曲线,这条曲线被称作“正态分布密度函数曲线”,简称“正态曲线” [3].
2.3 提出问题
在正态分布的研究方面目前已经很难有所进展，但是在正态分布的应用上还有待我们继续发掘.对正态分布在不同领域内的应用进行归纳总结，并探索正态分布在各领域的发展前景.使正态分布能够在工作生活中得到更为广泛的应用，这就是本文所要研究的问题.
3 正态分布的相关知识
3.1 正态分布的概念
若连续型随机变量 的概率密度为:
在日常工作生活中我们经常遇到一种目前应用最为普遍的连续概率分布:正态分布.它在数学概率学、统计学的研究上或是在对实际问题的处理中都有着非常高的应用价值.研究正态分布的特性并利用正态分布的性质来处理有关连续型随机变量的问题不仅可以减少人们的工作量，而且极大程度的提高了人们生活的便捷性.通过查阅大量文献，简单地介绍正态分布的概念及其性质，并列举正态分布在医学研究、工业生产、教育评价、仪器测量以及日常生活等方面的应用实例,分析正态分布在这些领域的主要应用形式,总结出正态分布在这些领域的主要应用价值和未来的应用方向,为探索正态分布更加广泛的应用前景提供参考.
2.2 国内外研究现状评价
总的来说，对于正态分布的研究，是很多数学家耗费心血才有了今天的成果，在理论研究上要再取得突破性进展已经很难了.文献［2～6］、［8］已经对正态分布的研究结果充分的展示出来.但是就目前为止，关于介绍正态分布应用在不同领域上的文献还有所欠缺.正态分布的应用仍具有极大的发展前景与研究意义，探索正态分布应用的更多可能性是极具价值的.文献［7］、［9～16］都对正态分布的应用从不同领域进行了分析和呈现，能够引发读者对正态分布应用性的思考.但是目前还缺乏能够完整的对正态分布的应用领域进行分类，对正态分布未来应用前景的探索的文献.
3.2 正态曲线的特性
对式(3.1.1)求导得,
(3.2.1)
令 ,则有 ,即当 时, 有极大值
对式(3.2.1)求导得,
(3.2.2)
令 ,则有 ,即曲线在 处有两个拐点.
表1 正态曲线特性
Байду номын сангаас
正 正 正 0 负 负 负
正 0 负 负 负 0 正
曲线 凹 拐点 凸 极大值 凸 拐点 凹
由上可知正态曲线的特性如下:
(1) 曲线关于 对称,对于任意 有 .
(2) 在 时取到最大值 .正态曲线从最高点 开始向两侧持续降低,形成像钟一样两端低缓,中部突出的图形.因此, 离 越远, 的值越小.也就是离对称轴越远的位置,随机变量 落在上面的可能就越低.