第三讲 正态分布及其应用

曲线向左、右两边无限延伸时，以 x轴为渐近线，向它无限靠 µ 为正态曲线的位置参数 近．
0.6 0.5
曲线2 曲线1
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 1 2 3 4 5 6
曲线3
三条不同μ和σ的正态分布曲线
当σ相同时,正态分布曲线的位置由μ来决定.
σ为正态曲线的形态参数
③正态分布有两个参数，一个正态分布 可以表示为N(µ,σ2)
f=120×0.2088=25(人)
三、正态分布的应用
正态分布是一种重要的分布，它是许多统计处理 方法的基础。对于服从正态分布或近似正态分布或对 数正态分布的资料，都可以借助于正态分布的规律来 解决问题。其在医药卫生领域的应用有以下方面：
（一）估计频数分布
（二）制定医学参考值范围 （三）质量控制 （四）作为许多统计方法的基础
例题2.18：已知u1=-1.2，u2=1.6，
求标准正态曲线下（-1.2，1.6）范围内的面 积。
请同学们不看书，自己试做一下。 题目有什么不同，如何解决？
例题2.19：已知120名5岁女孩身高X=110.15， S=5.86，现欲估计该市城区某年身高界于 104.0~108.0cm范围内的5岁女孩所占比例和人 数。
例题2.17：已知u1=-1.76，u2=-0.25，
求标准正态曲线下（-1.76，-0.25）范围内 的面积。 解：查附表1，得； Φ(u1)=0.0392,同理，Φ(u2)=0.4013, 则(-1.76,-0.25)范围内的面积为 D= Φ(u2)-Φ(u1)=0.4013-0.0392=0.3621
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征
（一）、正态分布的概念和图形
频
数
f（x）
5岁女孩身高的直方图
身高x（cm）
频 数 f（x）
5岁女孩身高的直方图
身高X（cm）
频数
组段 a b
频 数 f（x）
5岁女孩身高的频数分布曲线
身高x（cm）
f(X)
m
X
正态分布以均数为中心，左右两侧对称， 靠近均数两侧的频数较多，而距均数两侧较远
解：第一步，将该分布进行标准正态变换，以样本均数和 标准差代替总体均数和标准差，进行U变换。
U1=(104.0-110.15)/5.86 =-1.05 , U2=(108.0-110.15)/5.86 =-0.37
第二步，查附表1得： Ф (u1)=0.1469 ,Ф (u2)=0.3557
D=0.3557-0.1469=0.2088
2. 百分位数法 用于描述偏态分布资料 。
确定尿铅的95%参考值范围，因为尿铅以 过高为异常，应计算P95 白细胞数的95％参考值范围，因为白细胞数 无论过高或过低均属异常，则分别计算P2.5 和P97.5。这是双侧95％参考值范围；
处，频数逐渐减少，形成的钟形分布。
正态分布
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
高斯
正态分布（normal distribution）也 叫高斯分布（Gaussian distribution）， 是最常见、最重要的一种连续型分布。 因为医学卫生领域中，有许多变量为连 续的随机变量，并呈现正态分布。如，身高 、体重，血压。
分析三条正态曲线的共同特征：
①均数处最高 （一个最高点） ②左右对称（一个对称轴x=µ ）
观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线的性质
①曲线在 x轴的上方，与x轴不相交． 确定． 越大，曲线越“矮 当 m 一定时，曲线的形状由
越小，曲线越“瘦高”，表 胖”，表示总体的分布越分散； ②曲线关于直线 x m对称，且在 x m 时位于最高点. 示总 ③当时 x m ，曲线上升；当时 x m ，曲线下降．并且当 体的分布越集中．
例2.21 某地调查正常成年男子120人的第一秒肺 通气量，得均数＝ 4.2L, 标准差 s=0.7L ，试估 计该地成年男子第一秒肺通气量的 95%参考值 范围。 因肺第一秒通气量过低为异常，故按单侧 估计95%界值。 下限为：x – 1.64s=4.2-1.64 ×0.7 =3.05（L） 故该地成年男子第一秒肺通气量的95%参 考值范围为不低于3.05L
（二）、正态分布的特征
正态分布曲线的密度函数：
( X m )2 1 f (X ) exp , X 2 2 2 ＝3.14159， exp 是以2.72818为底的自然对数指数 X ~ N ( m , 2 ), m为X的总体均数，为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（normal curve ）
1 X F(X ) e 2
( X m ) 2
dX
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正态曲线下面积
标准正态曲线下面积分布规律
正态曲线下面积分布规律
正态分布 μ±σ μ±1.96σ μ±2.58σ
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
标准正态分布的意义
标准正态曲线下面积分布有规律，统计 学家将曲线下所有的U值对应的的面积全部计 算出来，并做成一个表，叫“标准正态分布 表”，供查用。见P261附表1。 借助于“标准正态分布表”，任何正态 分布都可以进行正态变换，计算出曲线任意 两个变量值之间的面积。
X us
如制定95％参考值范围，双侧界值 u=1.96，单侧界值u=1.645。 双侧界值：x1.96s 单侧上界：x+1.645s 单侧下界：x-1.645s
[ 例 2.21] 某地调查正常成年男子 200 人的红细胞 数近似正态分布，得均数＝ 5.526 （ 10 12 /L ） , 标准差s=0.38（1012/L），试估计该地成年男 子红细胞数的95%参考值范围。 因红细胞数过多或过少均为异常，故按双 侧估计95%界值。 下限为：x - 1.96s=5.526-1.96 ×0.38 =5.452 (1012/L) 上限为：x + 1.96s=5.526+1.96×0.38 =5.600(1012/L) 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围 （5.452—5.600）1012/L
（一）估计频数分布
例题2.20 某项研究显示，某地婴儿出生体重均数 为3100g，标准差为300g，试估计该地当年出生低体 重儿（≤2500g）所占比例。 解：已知婴儿出生体重服从正态分布。记做变 量X， 则当X ≤2500时，其对应于标准正态分布的u
值为：
u
X m

2500 3100 2.00 300
步骤： 1. 2. 3. 4. 5. 6.
异常
从“正常人”总体中抽样：明确研究总体 统一测定方法以控制系统误差。 判断是否需要分组（如性别、年龄）确定。 根据专业知识决定单侧还是双侧。 确定绝大多数的比例;最常用95% 选择适合的计算方法
正常
正常
异常
正常 异常
异常
单侧下限
单侧上限
双侧下限
双侧上限
1．正态分布法估计参考值范围公式为：
④正态曲线下面的面积分布有一定规律
二、标准正态分布
经标准正态变量u变换：一般正态分布 N ( m , )被变为 X m 标准正态分布 N (0,1); 即令u
2

u2 1 f (u ) exp , 2 2 X
f(X)
a
m
X
σ
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
一般正态分布为一个分布族:N(m,2) ；标准 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了便
于应用 。
曲线下面积
0.5
f(X)
0.4
-∞
u 0.3
0.2 0.1 0.0
(u )
2
4
1
u

e
u 2
2
du
-4
-3
-2
-1
0 X
1
2
3
附表1（P261） 就是根据此公式 和图形制定的
2 ( 2 )
查表得：Φ (-2.00)=0.0228=2.28%,即该地当 年低体重出生儿的比例为2.28%
（二）制订医学参考值范围
定义：指包括绝大多数正常人的人体形态、功能 和代谢等各种生理生化指标的波动范围，也可以 看作是常数，又称“正常值”
制订方法有两种： 1、正态分布法：适合正态或近似正 态分布的资料 2、百分位数法：适合偏态分布资料