基本图形生成算法直线圆弧

第二象限 第四象限
走笔 +Y 走笔 -Y Fk+1=Fk-|xA |
走笔 -X 走笔 +X Fk+1=Fk+|yA |
逐点比较法绘制直线.doc
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换
【注】递推公式的作用： 意义：简化计算过程，提高效率。 原则：尽可能以加减法代替乘除法。 方法：用当前点的偏差推算出走笔方向，并计算出下一
四、画线速度尽可能快，即算法效率要高。பைடு நூலகம்
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常用的直线生成算法有逐点比较法、正负法、数值微分 法和Bresenham算法等。
简介逐点比较法
详细介绍数值微分法和Bresenham算法。
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需要注意的是：由于在光栅化过程中，绘制点的最小单位 是1，因此对求出的xi+1和yi+1的值需要进行四舍五入。
xi 1 int( xi 1 0.5) yi 1 int( yi 1 0.5)
xi 1 xi x yi 1 yi y
式中，i=0, 1, 2 … , n-1，
x0 X 0 , y0 Y0 , xn X 1 , yn Y1
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——数值微分法 当精度无限高的情况下，绘制出的直线无限接近理想 直线。这种理想情况不可能出现（因为设备的精度有 限）也没必要追求，因此通常增量系数的取值为：
即第i+1点的偏差判别式为：
xA ( yi 1) y A xi Fi x A
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各象限的判别式
直线段 位置 第一象限 第三象限 偏差值FkP0 走笔 +X 走笔 -X Fk+1=Fk-|yA | 偏差值Fk<0 走笔 +Y 走笔 -Y Fk+1=Fk+|xA |
设当前位置为Mi（xi，yi），则计算偏差的函数为
F x y y x i A i A i
从偏差函数可知，光标每移动一个点，就要与理想直线的终 点坐标进行计算、比较，然后确定下一步走笔的方向和步长 的增量，这样绘制直线效率必然会很低，因此要对偏差函数 进行简化。
有效的方法是利用前一个点的偏差来推算下一个点的偏差值， 这种方法称为递推法。
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情况二：当 max( x , y ) y ，即 k 1 时，有：
1 1 xi 1 xi x xi y x xi k yi 1 yi y yi 1 y yi 1 y
要确定画线时光标移动的方向，必须要知道当前光 标点与理想直线的位置关系。位置关系通过坐标的 偏差来决定。 以第一象限为例分析逐点比较法的偏差计算过程。
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设要绘制的直线为OA（即理想直 线），当前点为M，当前点与理想直 线的相对位置（即点M在OA的上方 或下方）用偏差值 的正负来判断。
偏差与走笔的关系分析：
当 <0时，角 < ，点M在理想直 线下方，按约定，画笔应向上（+y） 走一步； 当P0时，角P ，点M在理想直线 上方或在直线上，按约定，画笔应 向右（+x）走一步。
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——逐点比较法 从计算偏差值的公式
则有xi+1＝ xi＋1（其中1为步长） yi+1＝ yi，
Fi 1 x A yi 1 y A xi 1 x A yi y A ( xi 1) x A yi y A xi y A Fi y A
第i+1点的偏差判别式为：
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例如已知前一个点的偏差值FiP0，说明点在理想直线的 上方，画笔应该沿+x方向移动一个步长；反之，则应该 沿+y向移动一个步长。 开始绘制直线时，光标位于理想直线的起点，因此始终 有F0=0。
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将递推法用数学的方法表示为： 设当前位置为Mi（xi，yi）， 下一个点位置为Mi+1（xi+1，yi+1）
求偏差的基本公式：
Fi x yi y xi A A
若FiP0，表示第i点在直线上方，
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“发现最佳逼近直线的像素序列”就是发现直线生成的 算法。不同的算法有不同的效率，但各种算法的核心都 是围绕着判别和生成x、y增量的过程和方法（走笔规则）
展开研究的。
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求偏差的基本公式：
将递推法用数学的方法表示为： 若Fi<0，表示第i点在直线下方， 则有xi+1＝ xi yi+1＝ yi ＋1 （其中1为步长），
Fi x yi y xi A A
Fi 1 xA yi 1 y A xi 1
DDA算法是一种增量算法，优点是直观、易于实现；
缺点是要做浮点运算和舍入取整，不利于硬件实现。
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斜率<=1时，以x为基本步 进方向，x方向每次步进 增量为1。
斜率>1时，以y为基 本步进方向，y方向 每次步进增量为1。
通常设：
当直线斜率小于或等于1，x方向为基本步进方向，即x=1， y的值由直线的斜率决定。
当直线斜率大于1，y为基本步进方向，即y=1，x的值由 直线的斜率决定。
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算法的判断规则——在绘图过程中，画笔每走一步，就要
与理想图形进行比较，然后决定下一步的走向，用步步逼 近的方法画出指定起止点间的直线段。
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void dda_line(float x0,float y0,float x1,float y1) { int i,epsl; float xincre,yincre,x,y; epsl=max(abs(x1-x0),abs(y1-y0)); xincre=(x1-x0)/epsl; yincre=(y1-y0)/epsl; x=x0; y=y0; for(i=1;i<=epsl;i++) { drawPoint(int(x+0.5),int(y+0.5)); //四舍五入取整 x=x+xincre; y=y+yincre; } 广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系 }
dy x Y1 Y0 k dx y X 1 X 0
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DDA算法的原理：由于直线的一阶导数是连续的，且x和y 是成比例的，因此可以通过在当前位置( xi , yi)分别加上两个 小增量 Hx 和 H y（其中为无穷小的正数）来求出下一个 点( xi+1, yi+1)的坐标。
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通常认为，基本二维图形包括点、直线、圆、椭圆、 多边形域和字符串等。复杂曲线及各种复杂图形均可 由直线段和圆弧来拟合，因此研究直线和圆弧的生成 算法是二维图形生成技术的基础。
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计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 在光栅显示器生成一个对象，实质上是往帧缓冲区的 相应单元中写入数据；如画一条直线，实质上是发现 最佳逼近直线的像素序列、并填入相应颜色的过程， 这个过程称为直线的光栅化，或者称为直线的扫描转 换。
走笔约定——以第一象限为例。 当画笔（光标当前位置）位于 理想直线上方，则横向走笔， 即画笔沿x方向移动一个单位； 当画笔位于理想直线下方时， 则纵向走笔，即画笔沿y方向 移动一个单位。
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步的偏差；再以画笔的当前位置重复上述过程，推算出画笔 下一步的动作。
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数值微分法（Digital Differential Analyzer）
简称DDA法，利用直线的微分方程生成直线的方法。 设直线的端点坐标为（X0，Y0）和（X1，Y1），直线的参 数方程为：
的计算公式为：
y M x y xM A A A tan tan xM x xM x A A yM y
tan函数在是单调递增函数，因此 的正负体现 和 的大小。
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1 / max( x , y )
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绘制直线时，要确定一个方向的增量为单位增量，即确定 画线的基本步进方向，另一个方向的增量由直线的斜率决
定。确定基本步进方向的依据是理想直线的斜率k。
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通常从以下四方面评价直线扫描转换算法的质量： 一、显示像素点应尽量靠近理想直线，直线要直，走样小； 二、直线端点准确，且绘制无定向性，即以哪一个端点为绘 制起点得到的线段应重合； 三、直线的亮度和色泽要均匀，避免造成视觉上一段亮一段
暗的感觉。这通过所绘制的像素点密度保持均匀来实现；
DDA算法的坐标迭代公式： 情况一：当 max( x , y ) x ， 即 k 1 时，有：
1 xi 1 xi x xi x x xi 1 yi 1 yi y yi 1 y yi k x
y x y x tg tg M xA x A M M A
可知，分子的正负决定 的正 负，因此将公式简化如下：
F y x y x M M A A M
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