数值计算方法答案

n i =1
f
( x1 ,
xi x2 ,⋯ ,
xn
)
∂f
( x1 ,
x2 ,⋯ , ∂xi
xn
)
δ
(
xi
)
。
得
a ∂S(a, b, C)
b ∂S(a, b, C)
C ∂S(a,b,C)
δ (S(a, b, C)) =
δ (a) +
δ (b) +
δ (C)
S(a,b,C) ∂a
S(a,b,C) ∂b
S(a,b,C) ∂C
内， f (x) =0 有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为
[0,1]
；
⎡⎢⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
；
[
0,1]
6
2．用二分法求方程 x sin x −1 = 0 在[0, 2] 内的根的近似值并分析误差。
解 ： 令 f (x) = x sin x −1 ， 则 有 f (0) = −1 < 0 ， f (2) = 0.8186 > 0 ，
= 0.123 ×101 × 0.219 ×101 − 1= 0.169 ×101 即 f (x) = 0.167 ×101 ， g(x) = 0.169 ×101 而当 x = 2.19 时 x3 − 3x2 + 3x −1的精确值为 1.6852，故 g(x) 的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
x
Байду номын сангаас
x
（4）（A） y = 9 − 80 ，（B） y = 1 9 + 80
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两
个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法
时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
= 1015
⎩x1 + x2 = 2
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
⎧⎪0.100×101 x1 + 0.100×1016 x2 = 0.100×1016 ⋯⋯⋯⋯ (1)
⎨ ⎪⎩0.100
×
101
x1
+
0.100 × 101
x2
=
0.200 × 101 ⋯⋯⋯⋯⋯
2
5
习题二
1．找出下列方程在 x = 0 附近的含根区间。
（1） x + cos x = 0 ；（2） 3x − cos x = 0； （3） sin(x) − e−x = 0 ；（4） x2 − e−x = 0 ；
解：（1）设 f (x) = x + cos x ，则 f (0) = 1， f (−1) = -0.4597 ，由 f (x) 的连续性知在 x ∈[−1, 0]
f (x) f (x)
（1） f (x) = x 时
2
δ ( x) ≈ x ( x) 'δ (x) = 1 δ (x) = 1 *2% = 1% ；
x
2
2
（2） f (x) = x4 时
δ (x4 ) ≈ x (x4 ) 'δ (x) = 4δ (x) = 4 * 2% = 8% x4
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他 们各有几位有效数字。
十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
解： f (2.19) = 0.480 ×101 × 0.219 ×101 − 3 × 0.480 ×101 + 0.657 ×101 − 1 = 0.105 ×10 2 − 0.144 × 102 + 0.657 ×101 − 1
4
= 0.167 ×101 g(2.19) = ((−0.81) × 0.219 ×101 + 3) × 0.219 ×101 − 1
i=6 3i 36 35 34 33 32 3
= 0.489
9．已知三角形面积 S = 1 ab sin C ，其中 0 < C < π 。
2
2
证明： δ (S) ≤ δ (a) + δ (b) + δ (C) 。
证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：
∑ δ ( f (x1, x2,⋯, xn )) ≈
1.1142578125
0.001398
11
1.11328125
1.1142578125 1.11376953125
-0.000538
12
1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875
-0.000199
13
1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875
（C）φ(x) = 1 ，由于当 x ∈[1.3,1.6]时，有
x −1
−1
φ '(x) =
3≥
1 3 = 1.075828706 > 1，
2(x −1)2 2(1.6 −1)2
所以对任意初值 x ∈[1.3,1.6]（原方程的根除外），迭代格式 xk+1 =
x −1
解：取
1.5
附近区间[1.3,1.6] 来考察。（A）φ(x)
=1+
1 x2
，显然当
x
>
0
时， ϕ ( x)
单调递减，
7
而φ(1.3) = 1.59171596 ， φ(1.6) = 1.390625 ，
因此，当 x ∈[1.3,1.6]时， φ(x)∈[1.3,1.6] 。
又当 x ∈[1.3,1.6]时， φ '(x)
数值计算方法
习题一（2）
1
习题二（6）
习题三（15）
习题四（29）
习题五（37）
习题六（62）
习题七（70）
2009．9，9
习题一
1．设 x >0 相对误差为 2%，求 x ， x4 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
∆( f (x))
δ ( f (x)) =
≈
x
f '( x)δ (x) 得
f '(x) = sin x + x cos x > 0 ， x ∈[0, 2]
所以函数 f (x) 在 (0，2) 上严格单调增且有唯一实根 x∗ 。
本题中求根使得误差不超过10 −4 ，则由误差估计式
|α
−
xk
|≤
b−a 2 k +1
，所需迭代次数 k
满足
2−0 2 k +1
< 10−4 ，即取 k
≥ 13.28便可，因此取 k
=14 。
用二分法计算结果列表如下：
k
ak
bk
xk
f (xk )
0
0
2
1
-0.1585
1
1
2
1.5
0.4962
2
1
1.5
1.25
0.1862
3
1
1.25
1.125
0.015051
4
1
1.125
1.0625
-0.0718
5
1.0625
1.125
1.09375
-0.02835
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。
（3）（A）中 sin2 x 使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。
（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
⎧ ⎨
x1
+ 1015
x2
6
1.09375
1.125
1.109375
-0.00664
7
1.109375
1.125
1.1171875
0.004208
8
1.109375
1.1171875
1.11328125
-0.001216
9
1.11328125
1.1171875
1.115234375
0.001496
10
1.11328125
1.115234375
（2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352
≈ fl( fl(0.3197 ×102 + 0.2456×101) + 0.1352) = fl(0.3443×102 + 0.1352)
=0.3457 ×102
（2）31.97+（2.456+0.1352）
∑ ∑ （1） 6 1 ；(2) 1 1 。
i=1 3i
i=6 3i
∑ 解：（1） 6 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0.333 + 0.111+ 0.037 + 0.012+ 0.004+ 0.001
i=1 3i 3 32 33 34 35 36
= 0.489
∑ （2） 1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0.001+ 0.004 + 0.012+ 0.037+ 0.111+ 0.333
不满足（2）式，解
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x1 = 0.100×101 x2 = 0.100 ×101
不满足（1）式，故在十进制三位浮
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数 f (x) = x3 − 3x2 + 3x −1和 g(x) = ((x − 3)x + 3)x −1在x = 2.19 处的函数值（采用
-0.0000297
14
1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375
0.000055
由上表可知原方程的根α ≈ x14 = 1.11419677734375 该问题得精确解为α = 1.114157140871⋯，故实际误差为 0.0000396⋯
3．判断用等价方程 x = φ( x) 建立的求解的非线性方程 f (x) = x3 − x2 −1 = 0 在 1.5 附近的根的 简单迭代法 xk+1 = φ( xk ) 的收敛性，其中 （A）φ(x) = 1+1/ x2 ；（B）φ(x) = 3 1+ x2 ；（C） φ(x) = 1
1 2x
φ '(x) =
3
(1+
x2
2
)3
>0
(x > 0) ，
所以当 x ∈[1.3,1.6]时， φ(x) ∈[1.3,1.6] 。
又当 x ∈[1.3,1.6]时， φ '(x) = 2
3
x
2
(1+ x2 )3
2 1.6
≤
3
(1 + 1.32 )
2 3
< 0.552 < 1，
1
由迭代法收敛定理，对任意初值 x ∈[1.3,1.6]，迭代格式 xk+1 = (1+ xk2 )3 ， (k = 0,1, 2,⋯) 收敛。
解：设该正方形的边长为 x ，面积为 f (x) = x2 ，由δ ( f (x)) = ∆( f (x)) ≈ x f '(x)δ (x) f (x) f (x)
解得δ (x)
≈
δ(
f (x)) f (x) xf '(x)
δ ( f (x))x2 = xi2x
=
δ(
f (x)) 2
=0.5%
5．下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
（1） x̃ = 12.1；（2） x̃ = 12.10 ；（3） x̃ = 12.100 。 解：由教材 P9 关于 x̃ = ±a1a2 ⋯am.b1b2 ⋯bn ⋯ 型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效
数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；
≈ fl(0.3197 ×102 + fl(0.2456 ×101)) = fl(0.3197 ×102 + 0.2591×101)
=0.3456 ×102 易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612×102 ，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多 少？
δ (S) = a ⋅ bsin C ⋅δ (a) + b ⋅ a sin C ⋅δ (b) + C ⋅ ab cos C ⋅δ (C)
ab sin C
ab sin C
ab sin C
C = δ (a) + δ (b) + δ (C)
tgC ≤ δ (a) + δ (b) + δ (C) （当 0 < C < π 时， C < tgC ），命题得证。
=
2 −
x3
2 ≤
1.33
< 0.92 < 1，
由迭代法收敛定理，对任意初值
x
∈ [1.3,1.6] ，迭代格式
xk +1
=1+
1 xk2
，
(k = 0,1, 2,⋯) 收敛。
1
（B）φ(x) = (1+ x2 )3 ，则φ(1.3) = 1.390755416 ，
φ(1.6) = 1.526921344 ，
(2)
（1）（- 2）得 0.100 ×1016 x2 = 0.100×1016 ，即 x2 = 0.100 ×101 ，把 x2 的值代入（1）得 x1 = 0.000 ；
把 x2 的值代入（2）得 x1 = 0.100 ×101
解
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x1 = 0.100×101 x2 = 0.000 ×101
（1）已知 x << 1，（A） y = 1 − 1− x ，（B） y =
2x2
；
1+ 2x 1+ x
(1+ 2x)(1+ x)
3
（2）已知 x >> 1，（A） y =
2
，（B） y = x + 1 − x − 1 ；
x( x + 1 + x − 1 )
x
x
x
x
（3）已知 x << 1，（A） y = 2 sin2 x ，（B） y = 1− cos 2x ；