第六章 责任准备金

第六章责任准备金
第一节净责任准备金（受益责任准备金）
一、责任准备金的定义
1、责任准备金产生原因
除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。

2、净责任准备金定义：
保险公司在任一时刻对每个现存被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。

也就是在该时刻每个现存的被保险人将来收益的现时值，所以也称为受益责任准备金。

它的实质是现存被保险人未来收益与未来缴费现时值之差。

3、责任准备金的分类
（1）按覆盖责任分
净责任准备金（受益责任准备金）：覆盖被保险人将来的保险收益
费用责任准备金：覆盖保险公司将来的费用支出
修正责任准备金：对第一年的费用支出作修正，等价调节各年责任准备金，以利于保险公司的利润均匀溢出。

（2）按被保险人缴费、保险人赔付的方式分
完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）
完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）
半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）
二、净责任准备金确定原理
以完全连续终身寿险为例
1、前瞻亏损（prospective loss）
其中：
2、净责任准备金的
确定。

前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金，记作
用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法。

前瞻亏损的方差
三、用前瞻法确定常见险种的责任准备金
1、终身寿险，终身缴费
年缴费年定期寿险，、
2．
年缴费年两全险， 3、
次缴费终身寿险 4、
年定期寿险次缴费、
5．
年缴费的终身生存年金年延期，6、
四、净责任准备金的其它确定公式
1、保费差公式
（1）理解：责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。

（2）推导：（以完全连续终身寿险为例）
2、缴清保险公式
（1）理解：责任准备金等于部分受益的精算现值。

年定期两全保险为例））推导：（以完全连续2
（．
3、后顾方法
（1）理解：责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。

（2）推导：
4、应用前瞻公式和后顾公式的原则
（1）在保障时间超过缴费期的场合，使用前瞻法更为方便
（2）在尚未提供受益的递延期内，使用后顾法更为方便
、其它公式
5．
五、完全离散场合责任准备金的递推公式
1、责任准备金的含义：
解释：责任准备金为未来的保险责任的现时值减去未来保费收入的现时值。

、 2
年为每个现存的被保险人准备的责任准为第年初缴付保费。

则第解释：第年死亡受益，
积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保备金加上每个现存的被保险人缴付的保费
元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备元责任准备金。

险人提供
、 3
称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任准备金部分的数额。

解释：
该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。

六、半连续责任准备金的确定
根据死亡年末给付与死亡即刻给付之间的关系，根据半连续保费与完全离散保费之间的关系，半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数。

年定期寿险为例次缴费
以．
其他险种场合可以同理推导。

七、一年缴费若干次责任准备金的确定
一年缴费若干次的责任准备金可以表示为一年缴费一次的完全离散责任准备金加上一个损失保费的额外附加责任准备金。

次缴费的完全离散终身寿险为例以一年
该责任准备金推导：
年两全保险的责任准备金为次缴费的完全离散同理，一年
元（终身寿解释：“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳
）的一部分，（终身寿险为险为）纯保费的纯寿险完全离散责任准备金。

比例为
八、分数期责任准备金的确定
UDD假定下，近似方法：
第二节修正责任准备金
一、责任准备金产生原因
1、费用责任准备金
（1）净保费责任准备金（受益责任准备金）覆盖的责任：保险人将来的净责任
（2）费用责任准备金覆盖的责任：由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，所以分期缴付保费
场合，保险人的费用责任准备金实际上一直是负的。

换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付款逐期偿还首年欠付费用。

．、修正责任准备金产生的原因2如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。

为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。

二、修正责任准备金方法、修正责任准备金原理——阶梯保费制1原始等额净保费示图修正后阶梯（净）保费
没有修正前是等额净保费：。

修正后成为阶梯保费：。

有．
2、常用修正责任准备金方法
（1）完全初年修正方法
条件：第一年的修正净保费等于第一年的死亡受益现值：
则有：
（2）美国保险监督官标准
产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。

美国保险监督官标准：
采用FPT调节如果是低保费保单：
，则如果是高保费保单：
（3）加拿大修正制
加拿大保险法允许有更大力度的修正。

为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有，其中条件：
其中：a＝150％净均衡保费，b＝新契约费，c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。

．
责任准备金
时的前瞻亏损，验证为经过持续时间年期两全保险，t x1. 对于（）的完全连续1单位n
=
的前瞻亏损为t）的趸交保费每年1单位连续定期年金，在时间2. （x
，=。

[ ]及计算写出前瞻公式：3.
1）（年末的责任准备金。

年定期保险在第51单位10的趸交保费（2）（45
个公式。

4 的4．写出
个公式。

7 5．写出的
的后顾公式。

6．给出，证明m＜t≤07．对
）（1
）2（
．指出等式8
中哪个公式相联系，并给出解释。

与5.3
的四个公式。

．写出 9
的七个公式。

10．写出
，证明＜mk 011．对
. 12．当k＜2/n时， .计算）。

4.3.4．根据附录生命表及利率136％，计算下表所列责任准备金（参见例完全离散完全连续半连续
．在每一年中死亡均匀分布的假设下，以下等式哪些是正确的？14
）（1
）（ 2
）3（
．在每一年中死亡均匀分布的假设下，证明15
．以下公式中哪些是的正确公式？16
(2)
（1）( )
(4)
（3）
的正确公式？ 17．以下公式中哪些是
(1) (2)
(4)
(3)
(5) (6)
．证明18
1 （）
）（ 2）可整理成5.7.2的（h置换1＋h．验证经
19．
责任准备金积累公式。

并给出解释。

这个公式称为Fackler单位终身人寿保险，证明）的120．对（x
1 （）
（2）
给出这些公式的文字解释。

，证明21．如
]）提示：用
（5.7.6[
是净均衡年缴保费。

证的n年期保险，．22对于受益设
明
（1）
）（2
]）[提示：直接证明或用（5.7.2建立出发,(5.8.1)23．从
按一般性推理解释这个结果。

．
24．解释以下公式，其中
1（）
（2）中某些式子类似的公式。

,(5.8.8),(5.8.9)．对下列责任准备金，导出与（5.8.5）25
⑷⑶⑴⑵
⑸⑹
的近似值。

．根据示例生命表以及利率6％，求26
．证明（5.8.4）可写成27
的完全离散终身人寿保险，证明1 28．对（）的保额为
=
（1）Var
=
Var ）（2单位的期初生存年金，考虑亏损．对于每年129
一年分摊的亏损由年度在时间
的公式解释（1）
=
证明①③② Var （2）
．30
=
的保险，建立式Var 对于例 5.7.2）（1
值。

）中保险的Var
l>0，计算（1 （2）如31．对于25岁人缴费期限20年的单位保额终身人寿保险，根据示例生命表以及利率6％计算1.
5.8.1)用定理5. Var
2.
(3.
4.Var
0．解释以下微分方城：32
1）
（
）（2
，证明 33．如且
．求341岁为止的定期保险，其受益如下表所示：65）发行的死亡即刻赔付并且到30．一种向（35．60-65死亡年龄30-5055-6050-556000090000100000受益80000:用计算基数写出以下公式半年缴一次的净比例年保费。

(1)
年末的责任准备金。

）的情况下在30 在以上（1(2)
36．一种（35）的趸交保费保单，在活到65岁时提供100000，在65岁之前死亡时用于死亡年，用计算基数写出末归还不含利息的净趸交保费。

设净趸交保费为
的公式。

）（1
年末责任准备金的前瞻公式。

（2）
年末责任准备金的后瞻公式。

（3）
以及计算基数，写出以下责任准备金的前瞻公式和后顾公式。

37. 用
2.
1．综合题
，计算设 38.
，计算39. 设40. 某种向(25)签发的终身寿险在死亡年末支付1单位受益，保费按年缴付至65岁为止，前10年增加到一个新的均衡年保费水平。

30年的净保费为，接下去
1. 计算从35岁到64岁应缴净年保费。

2. 计算第10年的期末责任准备金。

3.在10年末，保单持有人可选择继续按净保费缴付至65岁为止，同时35岁之后的死
年的期末责任准备金12小题的选择权，计算第3如果行使了第4. 。

B，计算B亡受益额降为
写出表达式用(5.10.3)41.
并解释结果 3.
1. 2.
相当的公式为(5.8.1)在每年死亡的Balducci假设下，证明与42.
2.
设1. ，每一年死亡均匀分布，计算 43.
44.* 根据每一年死亡均匀分布假设以及在真正半年缴一次的保费场合的下列责任准备金演变方
(5.8.6)(5.8.7)得出程，由
并解释结果 45.* 证明：
46.*
,对于
m-1h=0,1,2,……，
证明
⑴⑵
5.9.12个保单年度末，重做例47. 按照例5.4.4中被保险人活到第 5.9.2份重做例所描述与讨论的那种保单1500及习题48. 按照例5.4.44749. 在习题48中，对于活到第4个保单年度末的被保险人，有关支付的额度与时间并不存在不。

48的被保险人，重做习题3及2确定性。

对于持续到时间．
行应做何种改变？⑵按完全离散基础，表5.11.1的第550. 如果⑴按完全连续基础
用保费及期末责任准备金符51. 对于向(30)签发的以比例净保费按年缴付的10000元普通寿险，个保单年度的年中时的净保费责任准备金公式。

号写出第11，死亡受益在死亡年末支付，用平衡原理决定的净年缴保费为52. 某种3年期两全保单面额为3产生的责任准备金如下：20%0.94，按照利率责任准备金年度末0.661 1.562 3.003
的方差。

亏损 1 第年度末（未来）⑶保单签发时亏损的方差⑷⑴计算：⑵
修正责任准备金1．（1）某赌场在年度A的7月1日向1000位顾客每人收取0.55元，并立即投资于每半年利息率为3%的储蓄账户基金。

在年度A+1的7月1日，对应于每份顾客的共计1000枚分币将被掷出正反面。

如正面向上，则可获1元奖金；如正面向下，奖金为0。

对该赌场在年度A的12月31日的资产负债表与损益表填入应有的数字，其中负债使用精算现值。

_________________________________________资产负债表负债资产
准备金储蓄账户
盈余
损益表赌资收入利息收入_________________________准备金增加额_____
服从二项分布，用正态近似估计日支付额随机变量Y7月1 （2）在年度A+1的
日的资产。

31的12月其中a是在年度A
（3）如果该赌场只有一位顾客，那么第（1）小题中涉及的金额乘以0.001，证明此时第（2）。

1/2小题中的概率等于
，用于完全连续终身寿险保单的增列费用的亏损变量由下式给出：
2．
其中。

在这些表达式中，L可解释成与保单的受益部分相联系的亏损变量，X则与费用相联系，符号表示非随机的初始费用，g为连续维持费用（率），e是保费中的费用附加费。

设平衡
原理成立：，证明。

1）
（。

2）（岁被保险人发行。

假定：4065岁为止的两全保险，保费按年缴付，向．考虑保额为1000到3；年附加费用的保费为40% 销售佣金为第1
；5%10 2 至的续保费佣金为附加费用的保费的保单年度；2% 税金为每年附加费用的保费的
；4.001000 12.50，以后年度每保额1000 第1年的维持费用为每保额净保费提供死亡即刻赔付受益，无死亡时保费调整；
年选择与终极死亡表。

15 使用
写出附加费用的保费表达式。

念起两全保险的附加费用的保费按一下假设决定：某种一次性缴费的n4．％；税金为附加费用的保费的2.5％；佣金为附件费用的保费的4；以后每年2.50保额的其它费用为第一年每10005,受益在死亡即刻赔付，费用在每个保单年度初开支。

保单的附加的保费公式。

）发行的受益金1000给出向（x附加费用的保费根据以下费用开支清单计完全连续支付基础的终身寿险保单，对于金额为15．
算：；初始费用
；每年（包括第1年）一笔费用。

理赔支付成本（与受益赔付同时开支）。

c ，求a如，设． 6
，b）＝ G
（
（Rb）＝＋）的b（单位：千元）条件下，画出R（a/(1-f)=25,c/(1-f)=7.50 及最低保险金额m＝2在给定图形。

验证＝57．根据习题6给定的条件，令t。

26.50R（t）＝1（））图（b2c/(1-f)t,并画出第（）小题中的函数Zbc/ZR（b）＝（t）＋（b）＝（1-f）－R2（）。

b）<0（时，当）（时称为支点，当形。

在这个问题中，tb<tZb>0, b>tZ某险种每分保单的概率密度函数
为．8．
b>10,的单位是千元。

计算这里b。

规范常数K）（1期望保单金额。

2）（保险金分布的中位值。

3）（ 25,f=0.15,c=12。

（b），其中a＝（4） R）类似的连续形式是微分方程．与（9.5.59。

] (t)-(
μ)+ - tp (t)+ [ ( δ)+ (t)]= p [ ( )+δ
）给出的5.10.5用这个方程以及
（
)]p
(
[
表达式，证明
dy〕 e
p 〔(y)p (t)= －
．对于修正期等于缴费期的修正责任准备金方法，证明10
d）＝1-（β＋
．某种完全连续终身寿险的修正责任准备金方法由下式确定：11
, （t）＝
时的均衡保费t>=m 是其中
的公式写出 1（）
( )
写出）的前瞻公式。

，t<m（2 .。

与12．对于修正期等于缴费期，的完全离散终身寿险，计算
代之以（为责任准备金13．某种修正责任准备金方法将完全离散终身寿险保单的净年缴保费
年的年保费。

证明及以后的年保费目地）起初n
．证明14
，
年费用超额补贴的未偿还部分。

1j是修正期限。

注意，这个差额可解释为第其中．证明15
,n. k=1,2,…
16．初两年定期修正制责任准备金方法（2-year preliminary term reserve method）有3个计价净保费：。

1年：第。

第 2年：
岁的净均衡保费（受益与缴费方式不变）。

x+2 以后：
）的终身寿险保单的责任准备金为证明：按这个方法，（x
… k=3,4,5
（这类责任准备金制在健康保险中较普遍。

）
，对有些保单及有些年龄可使用1年净保费α至少等于 17．某种责任准备金计价制提议第
d=0.03，，FPT方法，但续年净保费β与α之差不能超过0.05，。

设。

，）的终身寿险保单的β。

）计算（x （1。

（2）计算
年期两全保险计算β的试验值，并验证该β是）的12 ，对（x （3）设）。

不允许的（β-α>0.05年两全保险的β。

x）小题中的结果计算（）的12 （4）用第（3。

）计算（5年与净续年115年期两全保险，按保险监督官修正制写出第18．对于（x）的完全离散缴费期为保费。

．某种更改的初年定期制如下：19
其余属类别Ⅱ；净续年保费大于I, 时属类别保单分成两类，当FPT年净保费与保险监督官责任准备金制相同，净续年保费使得在1I 对类别的保单，第
年末达到净均衡保费责任准备金；15年时在15缴费期末或者当缴费期长于方法。

对类别Ⅱ的保单，规定使用FPT
年期的两全保险，写出α与β的表达式。

20年缴费20x 对（）的完全离散
年的期末责任准备金按保险监督官制可写成,
的完全离散定额寿险在k．如20
,的表达式。

T导出
,．设 21
成为保险监督责任准备金。

(9.8.7)证明
保单定义为高费率的。

22．在采用加拿大修正制以前，加拿大法律规定的标准是，满足。

对其它保单允许使用FPT 对这种保单，修正期与缴费期相同，且方法。

证
年期两全保险，有明，对
综合题．23的净收益：(2)9.2.5中列用以下方程计算表(1)
.净利润附加费及其利息盈余的利息收入净收益=+并对观点上的差异作出说明。

小题中净收益表达式与相应的表达式比较第(2) (1)(9.5.9),。