大学物理实验理论课

一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式求 得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值 进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：
i li x
2、测量的标准差σ
（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）σ
f ( )
1
e 2 /(2 2 )
2
2、测量的标准差σ
（一）测量列中单次测量的标准偏差（标准偏差）σ
（1）测量值的数学期望等于真值。 （2）误差的数学期望等于零。
（3）标准差σ反映了测量值与真值的偏离程
度，即测量值之间的离散程度。 标准差小，离散程度小，测量精度高。
1、数学期望值(算术平均值)
对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此 其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的 测量结果。
② 当δ=0时 fmax ( ) ，f (0) 即 f ( ) f (0)，可推知单峰性， 即绝对值小的误差比绝对值大 的误差出现的次数多，这称为 误差的单峰性；
从正态分布的随机误差都具有 的四个特征：对称性、单峰性、 有界性、抵偿性。由于多数随 机误差都服从正态分布，因此 正态分布在误差理论中占有十 分重要的地位。
设 l1, l为2 , n次, l测n 量所得的值，则算术平均值为:
x l1 l2 ln
n
1 n
n
li
i 1
算术平均值是真值的最佳估值
下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l2 ln ) nLo
n
n
n
n
li i
i1
i li nLo
i 1
Lo
n
i 1
n
i1 n
i
由前面正态分布随机误差的第四特征可知 lim i1 ，因0此
n
n n
li
x i1 n
L0
由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就 可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就 是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值） 被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量， 因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。
第一节wk.baidu.com随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列 不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些 误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下 一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统 计规律。
随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构
成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素
零部件变形及其不稳定 性，信号处理电路的随
机噪声等。
② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
温度、湿度、气压的变 化，光照强度、电磁场 变化等。
瞄准、读数不稳定，人 为操作不当等。
二、正态分布 例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量
值出现的次数列表如下。
测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次数n 1 1 2 8 8 5 2 2 1 0
4
1.03
7
1.04 23
1.05 25
1.06 20
1.07 11
1.08
5
1.09
2
1.10
2
n
30
26
n=100次
20
16
10 6
1.05
xi
随着测量次数增多，统计显示 出如下规律。在1.05附近，测量值 出现的次数最多，表现为单峰性。 与1.05相差越多，测量值出现的次 数越少，表现为有界性。偏大的数 据与偏小的数据基本相等表现为对 称性。大部分数据存在于确定的范 围内，该范围可评价随机误差的大 小。
误差正态分布的分布密度函数为
f ( )
1
e 2 /(2 2 )
2
式中：σ——标准差（或均方根误差） e——自然对数的底，基值为2.7182……。
它的数学期望（平均值）为
E f ( )d 0
它的方差为：
2
2
f
(
)d
① 有 f ( ) ,0 f ( ) f ( ) 可推知分布具有对称性，即 绝对值相等的正误差与负误 差出现的次数相等，这称为 误差的对称性；
n
n=30 10
次
6
2
105 xi
测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
n 次 数 0 2 4 10 14 16 7 5 1 1
n
20
n=60 次
16
10 6
1.05
测量值
测x量i 值 次n数
1.01
1
1.02
多次测量， l1, l2，,测,量ln 列的标准差为：
lim n
n
(li x0 )2
i 1
n
当测量次数n 为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳
估计值；标准差常采用贝塞尔法来估计。
n
n
(li x)2
vi2
S i1 n 1
i1 n 1
vi li x
用残余误差求得 单次测量的标准 差的估值
③ 虽然函数 f ( )的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随 机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为 误差的有界性；
④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： n
这称为误差的i 补偿性。 lim i 1 0 n n
三、正态发布规律随机误差的数字特征
数学期望和标准差是定量描述统计分布规律 的两个重要参数。
可以预计，当 测量次数无限增多 n 时，曲线将表现为 单峰、有界、严格 对称的特征。在有 限次测量下，得到 的所有曲线，是以 对称曲线为中心， 左右摆动的曲线族。
100 次 60次 30次
xi
二、正态分布
在数理统计上, 描述具有单峰、有界、对称的统计函数叫正态 分布函数。常用来解释随机量测量过程中的随机行为与规律.在 测量次数趋于无穷时，有：
由于σ值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此σ值可作为随机误 差的评定尺度。σ值愈大，函数 减f (小 )得越慢；σ值愈小， 减小f得(愈) 快， 即测量到的精密度愈高，如图2-2所示。
标准差σ不是测量到中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大 小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。 在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但 却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概 率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量， 其标准差也不相同。