数字信号处理信号的频率分析

2
* *
x (t )e j 2 Ft dt X ( F ) 2 dF X ( F )dF
Parseval定理:
Ex


x(t ) dt
2
2


X ( F ) dF
2
它是信号能量在时域和频域之间的守恒定理。 j ( F ) 能量密度谱: 谱一般是复值的，极坐标表示为: X (F ) X (F ) e
x p (t )的ck 就是 X ( F )在kF0 k / Tp处的取样： ck T1P X (kF0 ) T1p X

k Tp
时域和频域之间的不确定性原理: 当信号在时域 扩展(压缩)时，则在频域压缩(扩展)。
4.2 离散时间信号的频率分析



x (t ) dt
A Tp / 2 Adt Tp
2
1 ck Tp A TP

2
Ae j 2 kF0t dt
2
e j 2 kF0t A e j 2 kF0 e j 2 kF0 A sin kF0 , k 1, 2, j2 Tp kF0 j 2 kF0 2 kF0Tp
1
离散时间周期信号的傅里叶级数
周期序列 x(n) 的周期为 N ，对所有的 n，有 x(n) x(n N )
它的傅里叶级数表示包含 N 个指数谐波函数
e j 2 kn N 并且可表示为：
k 0, 1, , N 1 x(n) ck e
k 0 N 1
j 2 kn N
(1)

Tp
x(t ) dt
实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。

周期信号为实数
ck 和c k 是复共轭 ck ck e j k c k ck e j k x(t ) c0 2 ck cos(2 kF0 t k )
k 1


另一种形式展开式 cos(2 kF0 t k ) cos 2 kF0 t cos k sin 2 kF0 t sin k

j 2 kF0t

t0 T p
t0
x(t )e
dt
e
Leabharlann Baidu 2 lF0t
( ck e j 2 kF0t )dt
k

k

ck
t0 T p
t0
e j 2 F0 ( k l )t dt

t0 Tp
t0
e j 2 F0 ( k l )t t0 Tp 0, k l t0 T p e j 2 F0 ( k l )t dt j 2 F0 ( k l ) t0 t0 t0 T p t0 T p k l t0 dt t t0 Tp , 1 t T j 2 lF t x(t )e dt clTp cl x(t )e j 2 lF t dt Tp t
0 0 p 0 0
1 cl Tp

Tp
x(t )e j 2 lF0t dt
1

连续时间周期信号的傅里叶级数
综合方程
x(t )
1 ck Tp
k




ck e j 2 kF0t
x(t )e j 2 kF0t dt
分析方程
Tp


如果信号是周期的且满足Dirichlet条件，则它一定 可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析 方程确定。 Dirichlet条件 信号 x(t ) 在一个周期内不连续点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内最小点和最大点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内绝对可积，即
kF0 sin /
当 Tp 时，固定脉冲宽度 ，而改变周期 Tp
矩形脉冲串信号 的功率谱密度
A TP A , TP sin kF0 kF0
2 2 2
k


这是一个周期信号，基本周期为Tp 1/ F0 。
{e j 2 kF0t
k 0, 1, 2, }
基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可 由它构造出不同类型的周期信号。
系数 {ck }的确定:
x(t )
j 2 lF0t
ck e k
t 0 T p t0
0
2 2 1 Px x(t ) dt ck Tp T k
p
* 1 ck Tp Tp k



x(t )e j 2 kF0t dt k

2
ck

物理含义
c 显然， k
2
x(t ) ck e
j 2 kF0t
T
x(t ) dt
p

2

功率信号的Parseval关系
x(t )
k
ck e
x (t )
k
ck e j 2 kF0t
2 1 1 Px x(t ) dt x(t )x* (t )dt Tp Tp Tp T p 1 * x(t ) ck e j 2 kF t dt Tp T p k
k 0 k 1, 2,
ck
2
3

连续时间非周期信号的傅里叶变换
分析方程(正变换)
X ( F ) x(t )e j 2 Ft dt


综合方程(逆变换)
x(t )



X ( F )e j 2 Ft dF


傅里叶级数和傅里叶变换的本质区别在于后者的谱是 连续的，因此，在从非周期信号的频谱合成非周期信 号的过程中，用积分运算代替了求和运算。 傅里叶变换对可以用角频率变量 2 F 表示 1 x(t ) x()e jt d 2
Joseph ，在测量太阳和 星体发射的光线时，发现 看到的光线的谱包含不同 的色光。 19世纪中叶发现，每种化学元 素受热辐射出不同的色光。因 此，可以通过化学元素的光谱 来辨识每种化学元素。
频率分析



从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频 率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。 信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同 的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示. 频率分析的基本目的: 给出一个分析任意给定信号 的频率分量的数学和图形表示方式。 可以证明: 实际中大多数有意义的信号能分解为正 弦信号分量和的形式。
实周期信号
c k c
* k

c k

2
ck
2
*
2
Px c0 2 2 ck
k 1
1 a02 ak 2 bk 2 2 k 1
例 给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。
解:基本周期: Tp
c0
1 Tp 1 Tp

Tp / 2
Tp / 2 Tp / 2
第4章 信号和系统的频率分析

4.1 4.2 4.3 4.4
连续时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析 频域和时域的信号特性 离散时间信号傅里叶变换的性质

4.5
小结和参考文献
4.1

连续时间信号的频率分析
利用玻璃棱镜(a)分析和(b)综合白光(太阳光).1672年 牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光 仪产生连续色带。
N , a 1 N 1 j 2 kn N N , k 0, N , 2 N , a k 1 a N e 其他 k 0 0, 1 a , a 1 n 0 在(1)式的两边乘以e j 2 l n/ N , 从n 0到n N 1求和 :
S xx ( F ) X ( F )
是被积函数，代表了信号能量随着频率变化的分布情况, 被称为信号
x(t )的能量密度谱。实信号的能量谱密度是偶对称的。
例4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量 A, t / 2 谱密度。 x(t )
0, t / 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
离散时间周期信号的傅里叶级数 周期信号的功率谱密度 离散时间非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换的收敛性 非周期信号的能量谱密度 傅里叶变换与z变换之间的关系 倒谱 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换 取样定理的回顾 信号的频域分类： 带宽的概念 一些自然信号的频率范围 物理和数学上的二重性
第4章 信号的频域分析




傅里叶变换和傅里叶级数是LTI系统分析与设计中非常 有用的工具。 信号的频域表示: 用正弦信号（或复指数信号）作为 分量来分解(或表示)信号。 对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。 对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。 LTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合 时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差 别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。 LTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。
其中{ck }是级数表达式中的系数。
综合方程:
x(n) ck e j 2 kn / N
k 0
N 1
分析方程:
ck
1 N
x(n)e
n 0
N 1
j 2 kn / N
综合方程通常被称为离散时间傅里叶级数(DTFS),傅里叶 系数 {ck } 给出了信号的频域分析。
傅里叶系数的表示式:
解: 信号是非周期的并且满足Dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（4.1.30），得到 /2 j Ft X ( F ) Ae dt A sin F / 2 F 矩形脉冲信号的谱是按 T p周期 性地重复脉冲所得周期信号的 谱线(傅里叶系数)的包络，
N 1
x ( n )e j 2 l n
n 0
N 1
N
ck e j 2 ( k l ) n N
n 0 k 0





用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频 率或者频谱分析。 在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的 过程称为谱估计。 可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱 分析 (例如，语音、EEG、ECG等)。 用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为 频谱分析仪。 傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代 替了棱镜作用。
主要内容



1 2 3 4
连续时间周期信号的傅里叶级数 周期信号的功率谱密度 连续时间非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的能量谱密度
1

连续时间周期信号的傅里叶级数
实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形 波、三角波，当然包括正弦波和复指数。 周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数， 它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线 性加权和。 j 2 kF0t 复指数谐波线性组合 x(t ) ck e
X ( )



x(t )e jt dt
4 非周期信号的能量谱密度
设信号 x(t )是具有傅里叶变换 X ( F )的能量有限信号。 能量定义:

Ex



X * ( F )e j 2 Ft dF x(t ) dt x (t )x (t ) dt x(t )dt
x(t ) a0 ( ak cos 2 kF0 t bk sin 2 kF0 t ) a0 c0 ak 2 ck cos k
k 1
bk 2 ck sin k

实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。
2

周期信号的功率谱密度
平均功率
1 Px Tp
j 2 kF0t *
Px ck
2

代表了信号第 k 个谐波分量的功率。因 此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率 的和。
连续周期信号的功率谱密度图

连续周期信号的功率谱密度图
{ck }是复数 :
ck ck e
j k
k ck
复度谱{ ck }, 相位谱{ k }

幅度谱是偶函数， 相位谱是奇函数。