概率论与数理统计第三章课件

§1 二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； y 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 X e , Y e 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 e 或二维随机变量。 x S 定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数 y
F ( x, y) P ( X x) (Y y)
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有
限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散
型随机变量。
设X的可能值为 x1 , x2 ,, xm ,
Y的可能值为y1 , y2 ,, yn ,
则 ( X ,Y )的可能值为 ( xi , y j ),
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
1 2 3 4
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X , Y 的分布函数F x, y , 如果存在非负函数f x, y ，使对于任意x, y， 有F ( x, y )
y

x
f (u, v)dudv
称 X , Y 为连续型的二维随机变量
称f x, y 为二维随机变量 X , Y 的联合概率密度
… P X x
i
p· 1
… … … … … …
p1· p2· … pi ·
…
…
1
…
我们常在表格上直接求边缘分布律 X Y
y1
y2
p12 p22
y3
p13 p23


pi
x1 p11 x2 p21
p1 p2
p1 j p2 j
j 1 j 1

x

y
f ( x, y)dxdy
( x, y) f ( x, y) Fxy
f ( x , y) 反映(X,Y)落在( x , y ) 处附近的概率大小
P ( x X x x , y Y y y) f ( x , y)xy
概率微分
(4) f ( x, y)的作用: 描述(X,Y)的取值规律
y x
3 P(Y X )
3e
0 3 y 2 y

0


y
6e
(2 x 3 y )
dxdy


0
3e3 y (e2 x | y )dy
e
dy


0
3e
5 y
3 5 y 3 e |0 dy 5 5
• 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
y2 y1
4 若x1 x2 , y1 y2
0
x1
x2
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ) 0
因为P x1 X x2 , y1 Y y2 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0
y y y X Y 1 2 3
x1 x2
p11 p21 p12 p22 p13 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P (( X , Y ) G )
( xi , y j )G
p
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现
的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，
0
－ － 3 y


f ( x, y)dxdy 1, 得
dy k 6 1
k 6
6e (2 x 3 y ) , x 0，y 0 f ( x, y) 其他 0,
y x (2u 3v ) 6 e dudv, x 0, y 0 0 0 2 F ( x, y) f (u, v)dudv 0, 其他 x y 2 x 3 y 2u 3v (1 e )(1 e ), x 0, y 0 2 e du 3 e dv , x 0, y 0 0 0 0, 其他 其他 0,
• 对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,

记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y)
F ( x, y),
事实上， FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) F ( x, )
即在分布函数F ( x, y)中令y ， 就能得到FX ( x)
同理得：FY ( y) P(Y y) F (, y)
2 dx
0 1 x x
1



f ( x, y)dxdy
1
0 0

y
0
kxydxdy
x
8 xydy 4 x[(1 x) 2 x 2 ]dx
1 2 0
4 x(1 2 x)dx
1 2 0
1 1 1 2 3 6
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。 FX ( x)， FY ( y)，
p j



1
p1
i 1
p2
p3
i 1
pi1


pi 3
例: 求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的
边缘分布律.
Y
1 3
X
0 0 1/8
1 3/8 0
2 3/8 0
3 0 1/8
p. j
6 8 2 8
1
pi .
1 8
3 8
3 8
1 8
X与Y的边缘分布律如下:
X
0
1 8
P ( X i,Y j )
P( X i ) P(Y j X i )
1 1 , ji 4 i ji 0,
(X,Y)的联合分布律为:
Y X
1 1/4 0 0 0
2 1/8 1/8 0 0
3 1/12 1/12 1/12 0
4 1/16 1/16 1/16 1/16
G内的概率值。
分布函数
F ( x, y的性质 )
y (x1,y) (x2,y)
1。 F x, y 关于x, y单调不减，即：
x1 x2 F ( x1 , y) F ( x2 , y)
y1 y2 F ( x, y1 ) F ( x, y2 )
x1
x2
2 0 F ( x, y) 1， F (, ) 1 对任意x, y
同理：
f X (t )dt

y
x
FY ( y) F (, y) f ( x, t )dx dt

y

fY (t )dt
Y • 例2：(X,Y)的联合分布律为 X 1 已知：P(Y 1| X 1) 0.5 2 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
-1
0
1
0.1 a 0.2 0.1 0.2 b
解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
j 1
i 1
记为
注意：
记号pi 中 表示pi 是由pij关于 j求和后得到的； 同样p j是由 pij 关于i求和后得到的；
X Y y1 x1 p11 x2 p21 … xi pi1
P Y y j
…
y2 … yj p12 … p 1j p22 … p 2j … pi2 … p ij p· 2 … … p.j
.求(X,Y)的分布律。 分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).
解：设X可能的取值为 i , i 1,2,3,4 Y可能的取值为 j , j 1,, i .
则：
说明
(1) 分布函数 F ( x, y) 是连续函数. (因为 F ( x, y) 是积分上限函数) (2) f ( x, y ) 的性质
( i ) f ( x , y) 0
( ii )



f ( x, y)dxdy 1
( 3) F ( x )与f ( x )的关系
F ( x , y)
• 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
ke (2 x 3 y ) , x 0，y 0 f ( x, y) 其他 0, (1) 求常数k；
y
yx
1
2
求Fra Baidu bibliotek布函数F ( x, y)；
3 求P(Y X )的概率
解： (1)利用
0
0
x

k e2 x dx e
试求(X,Y)的联合分布律。
解: (X,Y)所有可能的取值为： （0,3）（1,1）（2,1）（3,3） P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8 Y 1 X 0 0 1 3/8 2 3/8 3 0
3
1/8
0
0
1/8
例2: 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个
数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数
F (, y) F ( x, ) F (, ) 0
y2
(x,y2) (x,y1)
y1
x
3 F x, y 关于x, y右连续，即： lim F ( x , y ) F ( x, y )
。
0
0
lim F ( x, y ) F ( x, y )
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
pij的性质：
(1) 0 pij 1 ( 2) pij 1
i j
( i , j 1,2, )
(2)表格法
kxy, 0 x y 1 f ( x, y ) 其他 0, (1) 求常数k；(2) 求概率 P( X Y 1)
1
y
yx
解：
1 利用



f ( x, y)dxdy 1
得： 1

2 P( X Y 1)
k 3 k y dy k 8 0 2 8 1
1
3 8
2
3 8
3
1 8
pi .
Y
1
6 8
3
2 8
p. j
• 对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 f ( x, y ) X,Y的边缘概率密度为： f ( x) f ( x, y)dy X

fY ( y )


f ( x, y)dx
事实上，
FX ( x) F ( x, ) f (t , y )dy dt x
记成
x, y
0
P( X x, Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
x
几何意义
(X,Y)平面上随机点的
坐标
F ( x, y ) P { X x, Y y }
F ( x, y ) 即为随机点(X,Y)
( ,)
落在以点(x,y)为顶点,位于 该点左下方的无穷矩形区域
P (( X , Y ) G ) f ( x , y)dxdy
G
G
注： 1 在几何上，z f ( x, y)表示空间一个曲面， 介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P(( X , Y ) G )等于以G为底，以曲面
z f ( x, y )为顶面的柱体体积。 所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。