衍生品的希腊字母

e E I r S (t ) K S (t ) t
rt
1 2 Z ) e E I r S (t ) K S (t )(r 2 2 t
rt
1 2 Z e E I rK S (t ) 2 t 2 Nankai University
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Theta
欧式看涨期权的-Theta与股票价格关系：
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Theta
欧式看涨期权的Theta与到期时间之间变化关系的典型类 型：
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Theta
假设股票价格为$49，执行价格为$50，无风险年利率为 5%，股票价格波动率为年20%，到期时间为20周 （0.3846年），股票的年期望收益率为13%。 即t=0.3846, r=0.05, σ=0.20, K=50, s=49 则由上面讨论知
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Gamma
期权的Gamma值与股票价格间的关系。
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Gamma
期权的Gamma值与到期时间之间的关系。
Nankai University
Gamma
假设股票价格为$49，执行价格为$50，无风险年利率为 5%，股票价格波动率为年20%，到期时间为20周 （0.3846年），股票的年期望收益率为13%。 即s=49, t=0.3846, r=0.05, σ=0.20, K=50 则由上面讨论知
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Delta
我们在定价理论中曾经介绍过Delta：
U-D Δ= Su - Sd
它是期权价格变动与标的资产价格变动之间的比率。看涨 期权的Delta等于ΔC/ΔS。 它是期权价格价格与标的资产价格关系曲线的斜率。 下图为股票价格与期权价格间关系，其中Delta值为0.6。
Delta
例：一家美国银行出售了100万英镑的6个月期的看跌期 权，执行价格为1.6。假设当前汇率为1.62，英国的无风险 利率为年13%，美国的无风险利率为10%，英镑的波动率 为15%。求看跌期权的Delta值。 解：在本题中 s=1.62，K=1.6, t=0.5, r=0.1, σ=0.15, rf=0.13 故货币看跌期权的Delta为

1 s t
e qt ( )
0.00857
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Theta
期权组合的Theta，即Θ，是在其他条件保持不变的条件 下，组合价值变动与时间变化之间的比率，具体而言：
t
其中ΔΠ是其他条件不变条件下相隔Δt的时间组合价值 的变动。 Θ也称为组合的时间损耗（time decay）
C ( s, t , K , , r ) ( ) s
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Delta
C rt E I e S (t ) K s s
e E I S (t ) S
rt
证明：
其中
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Gamma
2 C 证明： C 2 s s s
( ) s
( ) s
( ) 1 s t
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Gamma
wk.baidu.com从上面的计算我们可以看出： C是S的凸函数； 期权的Gamma值也常被从业者称为曲率； 期权的Gamma的最大值在执行价格上取到； 对于平价期权而言，Gamma是到期时间的减函数。
rt
Theta
C 1 2 rt Z e E I rK S (t ) t 2 t 2
1 2 rt rt e rKE[ I ] e E[ IS (t )] e E[ IS (t ) Z ] 2 2 t
C rt E e I S (t ) K x x
rt E I e S (t ) K x
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衍生品的希腊字母
某金融机构出售了10万股不支付股利股票的欧式看涨期 权，获得了30万美元的期权费。假设股票价格为$49，执 行价格为$50，无风险年利率为5%，股票价格波动率为年 20%，到期时间为20周（0.3846年），股票的年期望收益 率为13%。 即t=0.3846, r=0.05, σ=0.20, K=50, s=49，μ=0.13 用Black-Scholes公式计算期权价格为24万美元。金融机构 出售期权获得的收入比理论价值高出6万美元。但它面临 着较大的风险头寸。
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Delta
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Delta
若Δ=0.6，则交易商可以通过买入0.6×2000=1200股股票 来冲销其头寸。 Delta一直在变化，投资者的头寸仅能在相对很短的时期 内保持Delta对冲状态。 如果 C ( s, t , K , , r ) 是由Black-Scholes期权定价公式得到 的不支付股利的欧式看涨期权价格，那么Δ就是C关于s 的偏导数。
rt
1 2 rt e rK ( t ) e s ( ) s (( ) t ( )) 2 2 t
rt
2 1 e rt rK ( t ) 2 e rt s ( ) s( ) s ( ) 2 2 2 t
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Delta
则组合的Delta值为：
i i
i 1
n
其中Δi是第i种期权的Delta。 例：设美国的一家金融机构持有下列三种澳元期权头寸： 1、执行价格为0.55的100 000个看涨期权多头头寸，到期 期限为3个月，每个期权的Delta为0.533； 2、执行价格为0.56的200 000个看涨期权空头头寸，到期 期限为5个月，每个期权的Delta为0.468；
希腊字母
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南开大学数学科学学院 白晓棠
衍生品的希腊字母
本节课我们将介绍所谓的希腊字母（Greek letters） Δ,Θ,Γ, ,ρ。 每一个希腊字母都衡量了期权头寸风险的一个不同的方 面，交易者通过管理希腊字母使所有风险都处于能接受的 水平。 衍生品的价格一般为五个变量的函数，而希腊字母一般都 代表衍生品价格关于这五个变量的一些偏导数，在讨论这 些偏导数之前我们先来看下面的引理。

1 s t
( )
0.066
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Gamma
对于支付股利收益率q的资产的欧式看涨期权或看跌期权 而言有：

1 s t
e qt ( )
当资产为股票指数时，q的取值为股票指数的股利收益 率；当资产为货币时，q的取值为国外无风险利率rf；当 资产为期货合约时，取S=F0，q=r。
S (t ) e E I s rt 1 e E IS (t ) s
rt
1 s ( ) ( ) s
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Delta
欧式看跌期权的Delta值为：
( ) 1
此值一般为负值，这意味着看跌期权的多头应该用标的股 票的空头头寸进行对冲。 下面两图显示了看涨期权与看跌期权Delta与股票价格之 间的变化关系。
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Theta
根据不支付股利股票的欧式看涨期权的B-S公式，我们有
其中
C s( ) Kre rt ( t ) t 2 t
( x) 1 e 2
x2 2
对于欧式股票看跌期权有：
C s( ) Kre rt ( t ) t 2 t
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Theta
证明：
C rt E I e S (t ) K t t
rt rt S (t ) E I re S (t ) K e t
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Delta
3、执行价格为0.56的50 000个看涨期权空头头寸，到期期 限为2个月，每个期权的Delta为-0.508。 整个组合的Delta为 100000×0.533-200000×0.468-50000×(-0.508)=-14900 即需要持有14900澳元的多头头寸方可对冲上述期权组合 投资。
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衍生品的希腊字母
引理：假设x是B-S公式中五个参数中的一个，则
C rt E I e ( S (t ) K ) x x
证明：
rt C ( s, t , K , , r ) E e I S (t ) K
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Gamma
例：考虑4个月期的股票指数看跌期权。当前的指数值为 305，执行价格为300，股利收益率为每年3%，无风险利 率为每年8%，指数波动率为每年25%。 解：在本题中 s=305，K=300, t=0.333, r=0.08, σ=0.25, q=0.03 于是由Gamma的公式有


2 t
s( ) Kre rt ( t )
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Theta
从上面的计算我们可以看出： 通常来说Theta是负值； 股票价格很低时，Theta接近0； 对于处于平价状态的看涨期权而言，Theta为负值且绝对 值很大； 随着股价上升，Theta值越来越接近-rKe-rT。
e
rf t
[ ( ) 1]
e 0.130.5 [ (0.0287) 1] 0.458
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Delta
某一单项资产为标的的期权或其他衍生工具构成的组合的 Delta值为：
S
其中ΔS为标的资产价格的小幅变动，ΔΠ是相应的组合 价值变动。 组合的Delta值可以通过组合中单个期权的Delta值来计 算，如果组合是由数量为ωi的期权i (1≤i ≤n)组合而成 的。
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Delta
看涨期权与看跌期权Delta与股票价格之间的变化关系。
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Delta
处于实值状态、平价状态以及虚值状态的看涨期权的 Delta与到期时间之间的变化关系。
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Delta
对于支付已知收益率q的资产的欧式看涨期权而言，其 Delta值为：
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Gamma
某种标的资产期权组合的Gamma即Γ，定义为标的资产 价格变化引起的该组合的Delta变化。对于欧式看涨期权 有：
2C 2 s
2C 1 2 ( ) 0 s s t
( x) 1 e 2
x2 2
可以证明
e qt ( )
对于此类资产的欧式看跌期权而言，其Delta值为：
e qt [ ( ) 1]
标的资产为股指时，q为指数的股利收益率；标的资产为 货币时q为国外无风险利率rf；标的资产为期货时，q为国 内无风险利率，并且在公式中取S0=F0。
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