一道数列背景的充要条件证明题

一道数列背景的充要条件证明题

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明“数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的充要条件。

证明：（1）证充分性：设n S An B n

=+，（,A B 为常数），则2n S An Bn =+， 当1n =时，11a S A B ==+；

当2n ≥时，221[(1)(1)]2n n n a S S An Bn A n B n An A B -=-=+--+-=-+， 又当1n =时也满足， 所以n a An B =+， 所以1(1)22222

n n a A n B A a An B ++++==，所以{}2n a 为等比数列。 （2）证必要性：若{}2

n a 为等比数列，设公比为q ，则1122n a a n q -=（q 必定大于0）， 所以112n a a n q --=，所以11212log (1)log n n a a q a n q -=+=+-，

所以数列{}n a 为等差数列，所以112[(1)log ]2

n n a a n q S ++-=， 所以21log (1)2n S q a n n =+-，所以121log 12n n S S q n n +-=+ 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列。 综上，“数列n S n ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭为等差数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的充要条件。