数列的极限经典习题

Chap1 数列的极限

1. 设()01,2,

n x n >=及lim n n x a →∞

=,用N ε-语言, 证明

: n =.

证

0n x >, 0a ∴≥.

(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞

=,

下证0n =.

0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<.

ε<,

0ε<.

0n ∴=.

(2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时

, n x a -<.

ε=

<

<

.

n ∴=

综上两方面 ,即证.

2. 已知lim n n x a →∞

=, 用N ε-语言, 证明

: n =

证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞

=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, 2

n x ε<;

ε<,

此即0n ==.

(2) 当0a ≠时,

因为

2

2

2

2

2

33

04

4

+=+

≥>.

令2

3

4

M =

,

lim n n x a →∞

=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有

n x a M ε-<.

2

2

n x a

-=

+

1

n x a M M M

εε-≤

<

⋅=

n ∴=

3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞

=.令12n

n x x x n

ξ+++=

, 求证:lim n n a ξ→∞=.

证法1 由施笃兹公式

12lim lim

n

n n n x x x n

ξ→∞

→∞+++=

()()()

1212

1l i m

1n n n x x x x x x n n -

→∞

++

+-+++=--

l i m n n x a →∞

==.

证法 2 由lim n n x a →∞

= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有

2

n x a ε

-<. ①

(

)

1112111

n

N N n x x x a x a x a x a x a n

n

++++-≤

-++-+-+

+-

令111N c x a x a =-++-, 那么

1212

n

x x x n N c a n

n n ε++

+--≤

+⋅ . ②

存在20N >, 使当2n N >时, 有

2

c n ε

<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有

1212

222

n

x x x n N a n

n ε

εεε

ε++

+--<

+

⋅<+=.

12lim lim

n

n n n x x x a n

ξ→∞

→∞++

∴==.

4. (几何平均收敛公式)设()01,2,

n x n >=. 且lim n n x a →∞

=. 证明: n a =.

证

l i m n n x a →∞

=, limln ln n n x a →∞

∴=.

再由算术平均收敛公式可知

()121

ln ln ln ln lim n x x x a n

n n e

e a ++→∞

∴===.

5. 证明: 1n =, 其中1a >.

证 令1

1n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有

()()

1

1111n n

a n n a αα=+≥+=+-,

即

1

1

1n a a n

--≤

.

1

11n a ε=-≤,只要

1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

,则当n N >时, 就有

1

a n

ε-<,

1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞

=, 则lim n n a a →∞

=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.

证 由题设 lim n n a a →∞

=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有

n a a ε-<.

从而当n N >时总有

n n a a a a ε-≤-<,

所以

lim n n a a →∞

=.

当且仅当0a =时,逆命题也成立.

7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim

0n

n n

a →∞=. 证 当2n ≥时, 有

()()()()()22

21121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦

(由二项展开式得) 要使

()()

2

2

11n a ε<-- ,

只需

()

2

2

11n a ε>

+-.

即若取 ()2

2

21N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

, 则当n N >时, 就有

()()

22

11n n a n n a ε<<--, 所以lim

0n

n n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,

且1n x +=,