数学分析2数列极限总练习题
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第二章 数列极限
总练习题
1、求下列数列的极限： (1)lim
n→∞
√n 3+3n n
；(2)
lim
n→∞n 5
e n
；(3)lim n→∞
(√n +2−2√n +1+√n).
解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3=√3n n
<√n 3+3n n
<√2·3n n
=3√2n
→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n→∞√n 3+3n n
=3.
(2)设a n =n 5
e n ，则lim
n→∞a n
a n+1
=lim n→∞
e (n
n+1)5
=e>1，∴lim
n→∞n 5
e n
=0.
(3)lim n→∞
(√n +2−2√n +1+√n)=lim n→∞
[(√n +2−√n +1)−(√n +1−√n)] =lim n→∞[√n+2+√
n+1
−
√n+1+√n
]=0.
2、证明：(1)lim n→∞
n 2q n =0(|q|<1)；(2)lim
n→∞
lgn n a
=0(a ≥1)；(3)lim √n!
n
=0.
证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n→∞
n 2q n =0；
当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >1
3!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得
0<|n 2q n |<
n 2
(1+h)n <6
h 3·n 2
n(n−1)(n−2)
=6
h 3·1
n(1−1n )(1−12
)
→0(n →∞).
由迫敛性定理可知：lim n→∞
n 2q n =0 (|q|<1).
(2)任给ε>0，则10ε>1，√n n
→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1<√n n
<10ε，取对数后得：0<
lgn n
<ε，∴lim
n→∞lgn
n
=0. 从而当a ≥1时，0 lgn n →0(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n→∞lgn n a =0(a ≥1). (3)任给ε>0，令M=1ε ，则lim n→∞M n n! =0. 又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M n n!<1，即1 n!<εn ， ∴当n>N 时，有0<√n!n <ε，∴lim √n! n =0. 3、设lim n→∞ a n =a ，证明： (1)lim n→∞ a 1+a 2+⋯+a n n =a(又问由此等式能否反过来推出lim n→∞ a n =a )； (2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n→∞ √a 1a 2…a n n =a. 证：(1)∵lim n→∞ a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε， 令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时， | a 1+a 2+⋯+a n n −a|=| a 1−a+a 2−a+⋯+a n −a n | ≤1 n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|) + (n−N 1)n ε< N 1m n +ε. 又lim n→∞ N 1m n =0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时， N 1m n <ε. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，|a 1+a 2+⋯+a n n −a|<2ε， ∴lim n→∞ a 1+a 2+⋯+a n n =a. 此等式反过来不能推出lim n→∞ a n =a . 例如a n =(-1)n 不收敛，但lim n→∞ a 1+a 2+⋯+a n n =0. (2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0. ∴lim n→∞1 a n =1 a . 又11a 1+1a 2 +⋯+1a n n = n 1a 1+1a 2+⋯+1a n ≤√a 1a 2…a n ≤ a 1+a 2+⋯+a n n →a (n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n→∞ √a 1a 2…a n n =a.