整数乘以分数与分数乘以整数的意义是否相同

一、整数乘以分数与分数乘以整数的意义是否相同？

有老师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘以整数，一个数的几分之几则用整数乘以分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个5

1是多少，是用整数乘以分数来列式，这样是不是表明整数乘以分数与分数乘以整数的意义相同呢？

这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，本套教材中没有区分乘数和被乘数。例如在整数乘法的运算中，算式“4×6”既可以表示6个4相加，又可以表示4个6相加，即在不涉及具体问题情境下，可以代表两个意义，4×6＝6+6+6+6或4×6=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来，6+6+6+6既可以写成4×6，也可以写成6×4。而4+4+4+4+4+4既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中，不同的算式有时表示不同的含义,比如“有6个小朋友，每人有4支铅笔，一共有多少支铅笔？”，4×6只代表6个4相加，当然这个实际问题也可以列出算式“6×4”。

在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。

教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。

在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。

需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。

在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：

事实上，面对用情景图或文字表达的实际问题，如：

共 ？只

或“每袋有6只桔子，4袋一共有几只桔子？”

学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6只桔子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高……以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。