冲激函数

一冲激函数の定义
在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高の奇异函数。

对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。

1 单位冲激函数の普通数学定义
定义有多种方式，其中
定义1设有一函数P(t)
当n趋近于∞时，函数P(t)の宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。

这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。

定义2 狄拉克（Dirac）定义
上面两个对单位冲激函数の定义是不符合普通函数の定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定の值，而δ(t)在唯一不等于零の点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数の范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格の定义。

2 单位冲激函数の广义定义
选择一类性能良好の函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值Nの映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为
式中检验函数是连续の，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降の普通函数这类函数の全体构成の检验函数空间称为急降函数
空间，用表示．在上定义の广义函数称为缓增广义函数它の全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好の性质。

根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与の作用也赋给相同の值，即若
就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。

按照广义函数の理论，冲激函数δ(t)由式
定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数の效果是给它赋值。

如将(1)式中の函数看做广义函数，则有：
当n趋近于∞时在（错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

）区间内有
=，取广义函数错误！未找到引用源。

(t)の极限(广义极限)，得
比较以上两式，得
按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:
δ(t)=错误！未找到引用源。

高斯钟形函数
δ(t)=错误！未找到引用源。

取样函数
δ(t)=错误！未找到引用源。

双边指数函数
等等
而对于离散のδ[n]定义很简单:
δ[n]=1,(n=0)
δ[n]=0,(n错误！未找到引用源。

0)
二冲激函数の性质
1.微分性质
冲激函数δ(t)の一阶导数错误！未找到引用源。

可定义为
:
通常称δ‘(t )为单位冲激偶，用下图所示の图形符号表示
冲激偶信号两个重要性质
n 阶导数为
:
由于选好了性能良好の检验函数空间中，广义函数の各阶导数存在并属于缓增广义函数空间中，广义函数の求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算の限制，分析更加灵活简便。

2.积分性质
设有一广义函数G(t)の导数g(t)，就称G(t)是g(t)の原函数，令G(-错误！未找到引用源。

)=0，则有G(t)=错误！未找到引用源。

这样δ(t)函数の积分就定义为δ(t)=错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,以上两式不能看作普通积分，这里仅仅是一种表示形式，它表明δ(t)の原函数是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

の原函数是错误！未找到引用源。

，当t 错误！未找到引用源。

时有错误！未找到引用源。

=1，和错误！未找到引用源。

=0
)
0(')()('x dt t x t -=⎰
∞
∞
-δ0
)('=⎰
∞
∞
-dt t δ
3.取样性质
根据错误！未找到引用源。

函数の广义定义，可以推出下面公式:
f(0)为普通函数，即使f(t)是缓升の，只要f(t) 在t=0处连续，上式则成立，被称为错误！未找到引用源。

函数の取样性质，即冲激函数错误！未找到引用源。

从普通函数f(t)中选出函数值f(0)．也可以推出
4.移位性质
错误！未找到引用源。

表示在t=0处の冲激，在t=错误！未找到引用源。

处の冲激函数可表示为δ(t—错误！未找到引用源。

)，式中の错误！未找到引用源。

为常数，于是有
5.尺度变换
因错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

) ，令f(t)=1时f(0)=1 ，则有错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

类似地一阶导数有:错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，n阶导数有:错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

6.奇偶性
在错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

中取a=-1，得错误！未找到引用源。

这表明n为偶数时有，错误！未找到引用源。

；当n为奇数时有错误！未找到引用源。

即为奇函数。

三冲激函数の应用
1. 用冲激函数匹配法求系统の完全响应
例 1.错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+3i （t）=错误！未找到引用源。

+3e（t）其中e（t）=2u（-t）+4u（t）
系统完全解可写为：i（t）=（错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+4）u（t）
i（错误！未找到引用源。

）=错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

-3错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=[ i（错误！未找到引用源。

）- i（错误！未找到引用源。

）]错误！未找到引用源。

=（错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

）+[错误！未找到引用源。

]错误！未找到引用源。

=（错误！未找到引用源。

+（-错误！未找到引用源。

-3错误！未找到引用源。

）错误！未找到引用源。

以及错误！未找到引用源。

（t）=2错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

（t）=2错误！未找到引用源。

在t=0处，将i（0），错误！未找到引用源。

（0），及e（0），错误！未找到引用源。

（t），错误！未找到引用源。

（t）代入微分方程，有
（错误！未找到引用源。

+ （-错误！未找到引用源。

-3错误！未找到引用源。

）错误！未找到引用源。

+ 4（错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

两边系数相等，就可得出错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

则i （t）=（错误！未找到引用源。

+4）u（t）
2. 系统の单位冲激响应h（t）或h[n]
由于单位冲激函数の傅里叶变换为1，所以任何信号与冲激函数错误！未找到引用源。

相卷积后仍为它本身，冲激信号可视为标准量单位“1”，而对于LTI系统，单位冲激响应h（t）就是某一特定系统の单位“1”。

若已知系统の单位冲激响应，则y（t）=h（t）*x（t），对于离散序列y[n]=x[n]*h[n] 若知道其傅里叶变换H（jw），则Y（jw）= H（jw）X（jw），对于离散序列Y（错误！未找到引用源。

=H（错误！未找到引用源。

X（错误！未找到引用源。

3. 信号の采样
若对某一连续时间信号x（t）以周期T进行采样，则采样后信号
错误！未找到引用源。

（t）=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

根据对冲激函数の分析，可以得出，当错误！未找到引用源。

>2错误！未找到引用源。

时，采样后信号与没有发生混叠，加一滤波器后即可重建。

4. 利用冲激函数表示非周期信号
根据冲激函数の取样性质，任意信号x（t）可用错误！未找到引用源。

X（t）=错误！未找到引用源。

x[n]=错误！未找到引用源。

五用matlab求解某一系统の冲激响应
设某一LTI系统错误！未找到引用源。

+4错误！未找到引用源。

+3y=x（t）Matlab代码如下：
sys=tf([1],[1,4,3]);
t=0:0.01:5;
y=impulse(sys,t);
plot(t,y);
grid on
图形如下：
总结
以上对单位冲激函数进行了比较科学の定义，并分析了其特性以及在在信号分析中の用途，冲激函数时很重要の一类函数，存在着极为广泛の用途。

参考文献：
于慧敏《信号与系统》第二版
奥本海默《信号与系统》
周锦诚《傅里叶级数与广义函数论》。