单位脉冲函数
信号与系统傅里叶变换对照表
信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。
下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。
傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。
狄拉克函数傅里叶变换
狄拉克函数傅里叶变换狄拉克函数（也称为“单位脉冲函数”）在数学和物理学中都有重要的应用。
而傅里叶变换则是一种常用的数学工具，可以将一个信号（比如音频或图像）分解成不同频率的基本成分。
本文将介绍狄拉克函数在傅里叶变换中的应用。
傅里叶变换可以将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的加权和。
这个过程需要使用一个称为“基函数”的函数集合，通常是正弦和余弦函数。
但是，狄拉克函数也可以被用作基函数之一。
狄拉克函数在数学上被定义为：$$delta(t) =begin{cases}+infty & t = 00 & teq 0end{cases}$$这个函数在$t=0$处是无穷大的，但在其他地方都等于零。
由于这个函数只有一个非零值，所以它可以被看作是一个极窄的脉冲。
使用狄拉克函数作为基函数之一的傅里叶变换被称为“狄拉克傅里叶变换”。
在这种变换中，狄拉克函数被看做是一个特殊的“频率分量”，具有无限高的幅度和无限短的时间。
狄拉克傅里叶变换的表示方法与普通傅里叶变换类似，只是在求和式中加入了狄拉克函数的项。
对于一个函数$f(t)$，它的狄拉克傅里叶变换可以表示为：$$F(omega) = int_{-infty}^infty f(t) delta(t-tau)e^{-iomega t} dt$$其中，$tau$为脉冲函数的位置参数，$e^{-iomega t}$是傅里叶变换中的复指数函数。
狄拉克傅里叶变换的一个重要应用是在信号处理中。
由于狄拉克函数可以看做是一个脉冲，所以它可以用来模拟信号中的突发事件或者尖峰。
通过将信号与狄拉克函数做卷积运算，可以将信号中的尖峰提取出来，从而更好地分析信号的特性。
总之，狄拉克函数在傅里叶变换中的应用虽然不如正弦和余弦函数广泛，但在一些特殊情况下仍然有重要作用。
对于信号处理和物理学等领域的研究者，了解狄拉克函数傅里叶变换的基本原理和应用是非常有必要的。
已知系统函数求单位脉冲响应
已知系统函数求单位脉冲响应在信号与系统中，我们经常需要求解系统的单位脉冲响应。
单位脉冲响应是指，当输入信号为单位脉冲函数（即一个时间上的单位冲激）时，系统输出的响应函数。
单位脉冲函数可以表示为：$$\delta(t)=\begin{cases}0 & t<0 \\\infty & t=0 \\0 & t>0 \\\end{cases}$$$$x(t)=\delta(t)$$而对于一个线性时不变系统，其输出可以表示为输入信号和系统单位脉冲响应的卷积形式：因此，我们需要知道系统的单位脉冲响应$h(t)$才能求解输出信号$y(t)$。
现在，我们已知系统的传递函数，如何求解$h(t)$呢？有以下三种方法：1. 直接查表法对于某些常见的系统，如一阶低通滤波器、二阶带通滤波器等，其单位脉冲响应可以通过表格得到，因此使用直接查表法即可。
2. 法式求解法对于一般的系统，我们可以通过传递函数的拉普拉斯变换公式得到系统的单位脉冲响应。
具体来说，令传递函数为$H(s)$，则其拉普拉斯变换为：$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$此时，由于输入信号为单位脉冲函数$x(t)=\delta(t)$，因此有：$$X(s)=1$$因此，得到单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：接着，我们可以通过拉普拉斯反变换得到$h(t)$：需要注意的是，这种方法只适用于系统传递函数存在的情况。
如果传递函数不存在，则需要使用第三种方法。
3. 时域响应求解法对于某些系统，其单位脉冲响应可以通过时域求解方法得到，例如一阶线性微分方程、RC电路等。
对于一般的系统，我们可以将系统分解为一些易于求解的子系统，例如串联的线性时不变系统可以分解为一系列一阶系统，从而利用时域方法求解每个子系统的单位脉冲响应，最终得到整个系统的单位脉冲响应。
总之，对于求解系统的单位脉冲响应，我们可以采用直接查表法、法式求解法和时域响应求解法等方法，根据具体情况选择相应的方法进行求解。
6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
(t)
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
(t )dt =
f
0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
1.2_单位冲激函数
0
方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位脉冲函数 (t t0 ) 满足 (t t0 ) (t )d t (t0 ),
(t ) C 称为检验函数。 其中，
(返回)
n
T
2
f ( ) cn
n
e
j n0t
e j t d t
2π cn ( n0 ).
n
18
4
§1.2 单位脉冲函数 第 二、单位脉冲函数的概念及性质 一 章 1. 单位脉冲函数的概念 (t t0 ) 并不是经典意义下的函数，而是 注 (1) 单位脉冲函数 傅 里 一个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下 叶 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 变 换 来使用它。
t
16
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
e
j 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
e j t d t
j ( 0 ) t e d t 2 π (0 ) 2 π ( 0 ) .
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
§1.2 单位脉冲函数
一、为什么要引入单位脉冲函数 二、单位脉冲函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§1.2 单位脉冲函数 第 一、为什么要引入单位脉冲函数 一 章 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 傅 里 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 叶 变 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否
单位脉冲函数
单位脉冲函数
单位脉冲函数（Unit Impulse Function）是数学中常用的一类函数，它经常用于信
号处理，特别是在数字信号处理中，主要用于滤波、卷积等操作。
它具有以下几个特点：
一、定义：单位脉冲函数δ(t)表示一类特殊的函数，它在t=0处具有无穷大的数值，其他任何时刻t处的值都为零，即：
δ(t)=
\begin{cases}
无穷大,& t=0 \\
0,& t\neq0
\end{cases}
二、表示：单位脉冲函数的图形表示如下：
三、性质：
1. δ(t)的定义域和值域都为R；
2. 在t=0处，函数δ(t)的定义极限为∞，而一般函数的定义极限为有限数值；
3. δ(t)的积分（积分不可分的绝对值）在所有t处都为1，即
$$∫_{-∞}^{+∞}\delta(t)dt=1$$
四、应用：
1. 单位脉冲函数δ(t)被广泛用于电路分析、信号处理、滤波和统计分析中；
2. 主要用在滤波器中，用单位脉冲函数来进行滤波操作，可以将信号函数通过一定
的滤波操作，滤除噪声或其它有害的因素，从而可以使信号函数变得清楚；
3. 在傅里叶变换中，单位脉冲函数δ(t)是一个核心概念，δ(t)可以通过一个无穷
级数表示，这也是傅里叶变换的基础；
4. 在现代电路理论中，单位脉冲函数也可以用来表示一类电磁波。
在无线电信号传
输中，当我们需要传输一个电磁波时，可以用这个单位脉冲函数来表示，从而可以高效地
传输电磁波信息，方便利用。
常用序列的z变换
常用序列的z变换序列的Z变换是一种重要的信号分析工具，它通常用于将离散时间序列在复平面上表示。
在通信、控制、图像处理等领域都有广泛的应用。
常用序列的Z变换包括单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数序列、正弦序列以及单位样值序列等。
我们来介绍单位脉冲函数的Z变换。
单位脉冲函数是一个离散时间序列，定义为:δ(n)={1, n=00, n≠0}它的Z变换可以表示为:Z{δ(n)}= 1这表示单位脉冲函数在Z域中的变换为常数1。
接下来，我们来介绍单位阶跃函数的Z变换。
单位阶跃函数是一个离散时间序列，定义为:u(n)={1, n≥00, n<0}它的Z变换可以表示为:Z{u(n)}= 1/(1-z^(-1))这表示单位阶跃函数在Z域中的变换为1除以(1-z的负1次方)。
接下来，我们来介绍指数序列的Z变换。
指数序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=a^n其中，a为常数，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1/(1-az^(-1))这表示指数序列在Z域中的变换为1除以(1-a乘以z的负1次方)。
接下来，我们来介绍正弦序列的Z变换。
正弦序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=sin(ωn)其中，ω为角频率，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= (z*sin(ω))/(z^2 - 2z*cos(ω) + 1)这表示正弦序列在Z域中的变换为z乘以sin(ω)除以(z的平方减2z乘以cos(ω)再加1)。
我们来介绍单位样值序列的Z变换。
单位样值序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)= 1, n=0x(n)= 0, n≠0它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1+z^(-1)这表示单位样值序列在Z域中的变换为1加上z的负1次方。
除了上述常用序列的Z变换，还有许多其他类型的序列也可以进行Z变换，如矩形序列、三角波序列等。
Z变换是离散时间序列分析中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间信号。
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
F t I (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：
(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .
4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1
delta函数与采样信号
(
)
−T
0 T
−ωs
0 ωs
e jω0t + e − jω0t cos (ω0t ) = 2
0处的
e jω0t + e − jω0t 1 FT ( cos (ω0t ) ) = FT = FT e jω0t + FT e − jω0t 2 2 1 = 2πδ (ω − ω0 ) + 2πδ (ω + ω0 ) × 2 = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 )
Delta函数与采样信号 Delta函数与采样信号
Delta函数（单位脉冲函数）的定义： Delta函数（单位脉冲函数）的定义： 函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且
∫
+∞
−∞
δ ( t )dt = 1
非常规的函数，“无限变大”、“积分值不为零”，但是又 积分值不为零” 非常规的函数， 无限变大” 是切实存在的，例如： 是切实存在的，例如：
FT δ ( t ) = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
=1
FT −1 (1) = δ ( t )
FT δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
单位脉冲函数详解
f (k ) (k ) f (0) (k )
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k ) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
δ函数的筛 选性质
[ f (t ) (t (t ( )dt tt )0 )) dt f (0) (0) f)] ( t ) t t0 ) f(( )f(t () t (t0
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.3 广义函数和δ
常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。
单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数
奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为
1 (k ) 0
k0 k0
1
(k )
… －2－1 0 1 2 3 4 k
Feng
2019/4/4
电子与通信工程系
第 1 章 信号与系统的基本概念
(2)冲激信号的物理意义： f ( t ) f ( ) ( t ) d f ( k ) ( t k ) 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
自动控制原理--系统典型输入信号和性能指标
h(t)
超调量
1.0 0.9
延迟时
0.5 间
0.1 0
峰值时间
上升时间 调节时间
误差带 0.02或0.05
稳态误差 (t→∞)
t 图3-5 单位阶跃响应
(5)(最大)超调量：
阶跃p %响应曲线的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比，即
p%
c(t p ) c() c()
100 %
反映振荡性的强弱或平稳性的好坏。
3、斜坡(速度)函数(Ramp function)
r(t)
Rt t 0
r (t )
0
t 0
Rt
R(s)=R/s2
0
t
图 3-3 斜坡函数
式中R为常数。当R=1时，称为单位斜坡函数。
在实际系统中，这意味着一个随时间以恒速变 化增长的外作用。如大型船闸匀速升降时主拖动系 统发出的位置信号、数控机床加工斜面时的进给指 令等。
❖ 线性定常系统的微分特性：若系统在输入r(t)作 用下的零状态响应为c(t)，则输入微分dr(t)/dt作 用下的零状态响应为原零状态响应的微分 dc(t)/dt。
❖ 通常认为系统跟踪和复现阶跃输入，对随动系 统来说是较为严格的工作条件。在经典控制理 论中，通常选用阶跃函数作为典型输入作用信 号。
r(t)
r(t)
R 0
t 0 t0
R
R(s)=R/s
0 图 3-2 阶跃函数
t
式中R为常数。当R=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)。
在控制系统的分析设计中，阶跃函数是应用最 多的一种评价系统动态性能的典型外作用。如电源 的突然接通、电源电压突然跳动、指令的突然转换、 负荷的突变、飞机在飞行中遇到的常值阵风扰动等。
单位脉冲响应函数
单位脉冲响应函数
单位脉冲响应函数是一个系统对于单位脉冲输入信号所产生的响应函数。
在信号处理和系统控制中，单位脉冲响应函数起着非常重要的作用，
它可以用于求解系统的响应，得到系统的传递函数，进行系统分析与设计等。
具体地说，对于一个线性时不变系统，其单位脉冲响应函数可以表示
为系统对于单位脉冲输入信号的响应，即：
h(t)=L{δ(t)}。
其中，L表示拉普拉斯变换，δ(t)表示单位脉冲函数。
根据卷积定理，该系统对于任意输入信号f(t)的响应可以表示为f(t)与h(t)的卷积：y(t)=f(t)*h(t)。
其中，*为卷积运算符。
因此，如果已知系统的单位脉冲响应函数
h(t)，就可以由上式求得系统对于任意输入信号的响应。
dimpulse函数
dimpulse函数Dirac脉冲函数，又称单位脉冲函数，是一种理想化的数学工具，其在物理学、工程学、数学等领域都有广泛应用。
该函数定义为：$$\delta(x)=\begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq0\end{cases}$$其具有“脉冲”一样的形状，但其宽度为0，且在所有点上积分值为1，即：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$$Dirac脉冲函数具有以下重要性质：1. 脉冲面积为1Dirac脉冲函数在任何一点的值都为无穷大，因此其图像看起来像一根无限高、宽度为0的线。
由于Dirac脉冲函数在所有点上的定积分为1，因此可以认为它的面积为1。
2. 脉冲积分为1由于Dirac脉冲函数的面积为1，因此在任何区间内对其进行积分都等于1。
这意味着该函数可以用来对信号进行加权平均。
3. 脉冲卷积Dirac脉冲函数在数学上可以视为单位脉冲函数的推广，其在卷积运算中的应用也十分广泛。
当一个信号与一个单位脉冲函数进行卷积时，其结果就是该信号本身。
同样地，当一个信号与Dirac脉冲函数进行卷积时，其结果也是该信号在脉冲处的值。
这个特性被广泛应用于信号处理和通信工程中。
4. 线性组合由于Dirac脉冲函数在所有点上的值都为0，因此可以将多个Dirac脉冲函数进行线性组合，得到一个新的脉冲函数。
可以使用以下公式来定义Dirac脉冲函数的线性组合：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-n)$$其中$x$是自变量，$a_n$是常数。
这个公式定义了一种在整个实数轴上的离散脉冲函数。
除了上述性质之外，Dirac脉冲函数还具有一些其他有用的特性，如：5. 时间反演对于一个信号$f(t)$，将其通过Dirac脉冲函数进行卷积可以得到一个脉冲响应$h(t)$。
如果将$h(t)$再次与Dirac脉冲函数进行卷积，则会得到$f(t)$本身。
单位脉冲函数的频谱
单位脉冲函数的频谱$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt = 1$$$$\mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt$$由于单位脉冲函数在$t=0$处取无限大的值，并且在其他时刻取零，所以单位脉冲函数的傅立叶变换可以简化为：$$\mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt = e^{-j2\pi f \cdot 0} = 1$$因此，单位脉冲函数的频谱为一个常数1、这意味着单位脉冲函数的频谱中存在着所有频率分量。
从傅立叶变换的性质来看，单位脉冲函数在频域中的频谱可以视为为一个常数乘以全部频率。
这种常数乘以所有频率可以理解为单位脉冲函数在时域中的振幅乘以一个常数。
因此，单位脉冲函数的频谱在所有频率上都有一个非零的振幅。
需要注意的是，单位脉冲函数的频谱是一个常数，但这并不意味着在所有频率上都有能量分布。
单位脉冲函数在时域上的振幅为无限大，但它的能量集中在一个极小的时间间隔上，即在$t=0$时刻。
由于能量和频率的关系是通过傅立叶变换来描述的，所以单位脉冲函数在频域中并不具有有限的能量。
单位脉冲函数的频谱可以通过傅立叶变换的性质推导得到。
具体来说，可以使用尺度性质和平移性质来计算单位脉冲函数的频谱。
尺度性质表示在时域中信号的缩放会导致频域中频谱的相应缩放。
对于单位脉冲函数，可以将其视为一个时间上的瞬时信号，并且进行时间缩放不会影响其性质。
因此，单位脉冲函数的频谱在所有频率上都具有相同的振幅。
平移性质表示在时域中信号的平移会导致频域中相应频谱的相位变化。
对于单位脉冲函数来说，它在时域中只有一个非零的值，即在$t=0$时刻。
这意味着在频域中，单位脉冲函数的频谱相位在所有频率上都会有一个相位偏移。
单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除持续散布的量之外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与持续散布的量来统一处置。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，即是用来描述这种集中量散布的密度函数.下面咱们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原先电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 此刻要确信电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 那么)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时刻的转变率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 因此, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不持续, 从而在一般导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 若是咱们形式地计算那个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这说明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示如此的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 关于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的超级窄的脉冲等, 就能够够象处置持续散布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的概念概念1 若是函数)(t δ称知足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，那么称)(t δ为δ一函数.. 更一样的情形下,若是函数知足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，那么称为)(a t -δ函数.⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 那么脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分明白得为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情形下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=11=⎰dt hh. 一样工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面咱们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的挑选性质:若()t f 为持续函数,那么有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一样情形,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处持续.由(1)能够求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1组成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦组成了一个傅氏变换对.同时，假设()()ωπδω2=F 时，那么由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也组成了一个傅氏变换对。
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在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.
下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.
1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则
)(t q =⎩
⎨
⎧=≠,0,1,
0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
)(t i =
dt t dq )(=0lim →∆t t
t q t t q ∆-∆+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得
)0(i =0
lim
→∆t t
q t q ∆-∆+)
0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进
一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.
1 单位脉冲函数的定义
定义1 如果函数)(t δ称满足
)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii
()1=⎰∞
∞
-dt t δ，或者()⎰=I
dt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)
(t δ为δ一函数.
. 更一般的情况下,如果函数满足
)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii
()1=-⎰∞
∞
-dt a t δ，或者()⎰=-I
dt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，
则称为)(a t -δ函数.
在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数
⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,
,,0;
,1
)(h a t a t h a t a h
a t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为
lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,
而把)(a t -δ的积分理解为
lim
→h dt a t h ⎰
∞
∞
--)(δ=dt a t h
a a
h h ⎰
+→-)(lim 0
δ=11
=⎰
+dt h
h
a a
. 特殊情况下,0=a 时有
⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,
,0,0;
0,1
)(h t t h t h
t h δ 于是
lim →h )(t h δ=)(t δ
lim
→h dt t h ⎰
∞
∞
-)(δ=dt t h h h ⎰→00
)(lim δ=11
0=⎰dt h
h
.
一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.
下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:
若()t f 为连续函数,则有
()dt t f t ⎰
∞
∞
-)(δ=()0f . (1)
更一般情况,有
()dt t f a t ⎰
∞∞
--)(δ=()a f (2)
其中()t f 在a t =处连续.
由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ
()=ωF F (){}t δ=()⎰∞
∞
--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω
可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和t
i e ω-亦构成了一
个傅氏变换对.
同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得
()()ωωπωd e F t f t
i ⎰∞
∞
-=
21=()ωωπδπ
ωd e t i ⎰
∞
∞
-221
=1|0==t t i e ω
故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。
同理，)(20ωωπδ-和t
i e
0ω亦构成了一个傅氏变
换对.
需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.
根据傅氏积分公式，函数()t f 能取傅里叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积即
()+∞<⎰
+∞
∞
-dt t f ，
实际上这个条件非常强，它要求()t f 条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如常数、符号函数、单位阶跃函数及正余弦函数等都不满足绝对可积的条件! 如此一来，较强的条件使得傅里叶变换的应用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.
例1 证明单位跃阶函数()⎩⎨
⎧><=0
,10,0t t t u 的傅氏变换为()ωπδω+i 1
. 证明：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 事实上，若()()ωπδω
ω+=
i F 1
,则 ()()ωωπωd e F t f t i ⎰∞∞-=
21 ()ωωπδω
πωd e i t
i ]1[21⎰∞∞-+= ωωπωd e i t i ⎰∞∞-=121+
()ωωπδπωd e t
i ⎰∞∞-21 2
1sin 10+=⎰∞ωωωπd t 为了说明()()t u t f =，就必须计算积分ωωωd t ⎰∞0sin ，由积分2
sin 0π
ωωω=⎰∞d ，有 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>=<-=⎰∞,,0,2
;0,0;
0,2sin 0t t t d t ππ
ωω
ω 将此结果代入()t f 的表达式，当0≠t 时，可得
()=t f 21sin 10+⎰∞ωωωπd t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-=,0,2
1
1)2(;
0,2
1
1)2(t t ππππ
这就表明
()ωπδω+i 1的傅氏变换为()()t u t f =，因此，()t u 和()ωπδω
+i 1构成了一个傅氏变换对。
所以单位跃阶函数()t u 的积分表达式可以写成
()t u 2
1
sin 1
+
=
⎰
∞
ωω
ωπ
d t
， ()0≠t 例2 求正弦函数 ()t t f 0sin ω=的傅氏变换. 解：()dt e
t F t
i ωωω-+∞
∞
-⎰
=0sin =⎰∞
∞----dt e i
e e t
i t i t i ωωω200 ()()[]
d t
e e i t
i t i ⎰∞∞-+----=
0021ωωωω ()()[]002221
ωωπδωωπδ+--=i
=π
i ()()[]00ωωδωωδ--+.
即F{t 0sin ω}=π
i ()()[]00ωωδωωδ--+.同理，可得
F{t 0cos ω}=π
i ()()[].00ωωδωωδ-++
注：我们介绍δ一函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.。