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(1)元胞分布在规则划分的网格上； (2)元胞具有0，1两种状态，0代表“死”， l代表“生”； (3)元胞以相邻的8个元胞为邻居，即 Moore邻居形式；
2021/2/2
19
•J. Conway和 “生命游戏”
(4)一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死 状态和周围八个邻居的状态 (确切讲是状态 的和)决定: ➢在当前时刻，如果一个元胞状态为 “生”，且八个相邻元胞中有两个或三 个的状态为“生”，则在下一时刻该元 胞继续保持为“生”，否则“死”去； ➢·在当前时刻。如果一个元胞状态为"死"。 且八个相邻元胞中正好有三个为"生"。则 该元胞在下一时刻 "复活"。否则保持为" 死“.
▪ 应当说，格子气自动机是一种特殊的元胞自动机 模型，或者说是一个扩展的元胞自动机模型 (Extended Cellular Automata)。
2021/2/2
22
▪ 早期格子气模型的特征如下:
(1)由于流体粒子不会轻易从模型空间中消失，这个 特征需要格子气自动机是一个可逆元胞自动机模型。
(2)格子气自动机的邻居模型通常采用Margulos类 型，即它的规则是基于一个2X2的网格空间的。
➢ 晶格一般是规则晶格， 其维数、大小可以是任意的。 它表述了系统由基础实体(elementary entities)形成的 构象，这些"基础实体"被认为与所用模型密切相关，它 们可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶 格缺陷或生物界中的动物等等。
2021/2/2
2
1 概述
➢ 构成系统的基本实体，可以由广义态变量(诸如无量纲数、 粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动 物种类等)进行量化表述。在每个独立的格座，这些态变 量的实际取值都是确定的。并且认为，每一个结点代表 有限个可能的离散状态中的一个态。
小的晶格间距比较妥当； 而且，还必须考虑对变换速率
2021/2/2进行合理修正和重正化。
3
1 概述
▪ 元胞自动机以离散时间步发展演化。
➢ 经过一个时间间隔，要对所有结点的态变量值同时更新。
▪ 近年来，通过对Wolfram (1986) 创立的经典元 胞自动机(CCA)方法的合理拓展，已经建立起一 批更广义的元胞自动机(GCA)方法。
离散位错动力学模拟经常包含有这样一个规则“如果两个反平 行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会自 发淹没。
在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样的规则“如果裂纹 速度达到某个值，试验样品将自主损坏。
在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则“如果晶体局域取向 误差达到某一个值，格座将满足成核的动力学非稳定性临界条
具体讲,构成元胞自动机的部件被称为“元 胞”，每个元胞具有一个状态。
2021/2/2
25
Байду номын сангаас
4元胞自动机的定义
这些元胞规则地排列在被称为“元胞空间”
的空间格网上，它们各自的状态随着时间变
化，而根据一个局部规则来进行更新，也就
是说，一个元胞在某时刻的状态取决于、而
且仅仅取决于上一时刻该元胞的状态以及该
件” 或“局域储存的弹性能达到某个临界值，格座将满足成核
的热力学非稳定性条件”。
2021/2/2
8
1 概述
▪ 如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就”的 变换规则，就可以对复杂系统的动力学行为特性进
行模拟。通常而言，所考查粒子之间的局域相互作 用是这一问题的根本基础。
▪ 元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次(例如原子、
2021/2/2
16
Converting a CAR to a binary string
➢ Remember: 208 = 128 + 64 + 16
2021/2/2
17
CAR 30(00011110) ten time-steps
2021/2/2
18
•J. Conway和 “生命游戏”
生命游戏的构成及规则:
2021/2/2
20
2021/2/2
21
格子气自动机
▪ 格子气自动机 (Lattice一Gas Automata,LGA又称 格气机)，是元胞自动机在流体力学与统计物理中 的具体化，也是元胞自动机在科学研究领域成功 应用的范例 (李才伟，1997)。相对于“生命游戏” 来说，格子气自动机是个更注重于模型的实用性。 它利用元胞自动机的动态特征，来模拟流体粒子 的运动。
2021/2/2
7
1 概述
▪ 在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充 一些“如果.. . 就..”规则是很有意义的。
➢ 在塑性学、断裂力学或晶体生长等领域遇到的情况。上 述附加规则的方法为处理“ 数学上的奇点(即非光滑函数 表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的选 择。这些规则经常出现在微结构模拟中：
➢ 例如，对再结晶和晶位生长，元胞自动机以离散化方式 同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些 特性的描述，一般是将局域晶体取向g、储存的弹性能 （即某种近似可测量，诸如位错密度p或局域泰勒因子M) 以及温度T作为态变量，这些变量都是因变量，也就是 它们依赖于自变量，如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等， 就所研究的特定现象来说，上述确定的状态变量应包含
2021/2/2
13
3 常用元胞自动机
▪ S. Wolfram和初等元胞自动机
初等元胞自动机是状态集S只有两个元素{s1，s2}，即状态个 数k=2，邻居半径r=l的一维元胞自动机，邻居集N的个数 2r=2，局部映射f:S3→S可记为:
其中变量有三个，每个变量取两个状态值，那么就有 2×2×2=8种组合，只要给出在这八个自变量组合上的值， f就完全确定了。
2021/2/2
4
1 概述
➢ 同时，像常规自动机那样，假定它们是有限个可能状态 中的一个，并对所有元胞状态同步更新。此外，它们与 常规自动机不同的是，格座变换既可以按照确定性定律， 也可以按照概率性定律。因而，广义微结构元胞自动机 在计算材料学中的发展势头日益强劲。
➢ 鉴于这些特点，元胞自动机方法为模拟动力学系统的演 化提供了一种直接的手段，这些动力学系统包含有大量 基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元。对于一 个简单的物理系统，时间是其唯一个独立变量（自变量） 这种直接方法，就相当于对多少有些复杂的偏微分方程 组，利用有限差分近似法给出其离散解。
原子团簇、位错段、亚晶粒)上完成的， 但这些方
法对连续体空间进行离散化和映射处理的派生方法，
不存在物理特征线度或时间刻度的内禀标定问题。
这就是说，对连续体系统的元胞自动机模拟，需要
定义相应的基本单元和对应的变换规则，展现系统
在给定层次上的行为特性。这就解释了为什么将元
胞自动机方法放在本章关于介观-微观方法中介绍，
2021/2/2
14
例如以下映射便是其中的一个规则:
对于任何一个一维的0，1序列，应用以上规则，可以产生 下一时刻的相应的序列，应用以上规则产生:
t: 010111110101011100010
t+1:1010001010101010001
2021/2/2
15
八种组合分别对应0或1，这样的组合共有28=256 种，即初等元胞自动机只可能有256种不同规则。
元胞自动机
2021/2/2
1
1 概述
▪ 元胞自动机(Cellular Automata)作为描述处理复杂 系统在离散空间、时间上演化规律的算法，通常采 用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换 规则进行具体操作。
▪ 空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。
▪ 晶格定义为具有固定数目的点，这些点可以看作是 有限差分场中的结点。
而不是与蒙特卡罗方法或分子动力学放在一起。
2021/2/2
9
1 概述
▪ 同时，从物理角度看，分子动力学表示的是真正的 微观模型，而在使用元胞自动机方法时，并不局限 任何特定体系，可适用于任何系统。
▪ 与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法得到的平 衡系综的热力学量， 在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前， 一个重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体 现了"基础物理实体"的特性。
▪ 由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系， 所 以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的 方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
2021/2/2
10
▪ 元胞自动机(Cellular Automata)，简称CA，也有 人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或 单元自动机。
▪ 元胞自动机是一时间和空间都离散的动力系统。 散布在规则格网 (Lattice Grid)中的每一元胞(Cell) 取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据 确定的局部规则作同步更新。大量元胞通过简单 的相互作用而构成动态系统的演化。
➢ 后者作为元胞自动机方法的变种，它比原来的方法有更 强的适应性，尤其是在计算材料学中的一些特殊应用方 面优点突出。
➢ 广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间 格栅，这时的空间既可以是实空间，也可以是动量空间 或波矢空间。然而，在空间上通常被认为是均匀的，亦 即所有格座都是等价的，并被排布在规则晶格上，其中 的变换规则在各处都是一样的。
在所使用的各种局域结构演化定律中。这一思想表明，
根据局域的信息、数据且变换规律，可以对诸如复原、
成核及其生长等现象的机理给出相应合理的唯象解释。
2021/2/2
12
2元胞自动机在材料科学中多面性
➢ 通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量， 元胞自 动机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，包 括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶 界和孪晶等. 这些局域性缺陷结构， 可以借助其态变量 的相应值或梯度值进行表述，用高位错密度和大的局域 晶格曲率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的 晶界迁略率m， 可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和 晶界法线的空间取向n来表征。
1 概述
▪ 元胞自动机通常被认为是离散计算方法的普遍化推 广，具有更加广泛的适用性和多功能的特点。
➢ 元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种 有限差分法、有限元法、伊辛( Ising) 法、波茨( Potts) 方法等。
➢ 这种灵活适用性是基于这样个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，自动机还能够实际 地包括任何元素或规则。
2021/2/2
5
1 概述
➢ 应该强调指出，这些元胞自动机方法对"基础实体"类型 和选用的变换规则没有任何限制。它们可以对不同的处 理状况进行描述，诸如：简单有限差分模拟中态变量值 的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情况" 在任何变换条件下的模糊集合元素， 以及元胞的初级生 长与衰减过程等。
▪ 将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自 动机的演化。
➢ 这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规则，格座 状态是其前一状态及近邻格点（座）状态的函数，而在 整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元胞 自动机大多采用局域变换规则。
➢ 这种方法对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易接
受的。特别对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较
➢ 在计算材料学领域， 元胞自动机的变换规则般存在于有 限差分、有限元，以及关于时间和2个或3个空间坐标的 偏微分藕合方程组的蒙特卡罗近似之中。同时，局域变 换描述近邻格座之间的短程相互作用，而整体变换规则 能够处理长程相互作用。通常，根据各个态变量的取值 可以给出相应格座的状态。
2021/2/2
6
2021/2/2
23
▪ 格子气自动机
(3)依照规则和邻居模型在计算完一次后，需 要将这个2X2的模板沿对角方向滑动，再计 算一次。那么，一个流体粒子的运动需要两 步t～t+l～t+2才能完成。
2021/2/2
24
4元胞自动机的定义
元胞自动机是定义在一个由具有离散、有限 状态的元胞组成的元胞空间上，并按照一定 局部规则，在离散的时间维上演化的动力学 系统。
▪ 构成: 元胞自动机最基本的组成:元胞、元胞空间、 邻居及规则四部分。简单讲，元胞自动机可以视 为由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所 组成。
2021/2/2
11
2元胞自动机在材料科学中多面性
▪ 在对由再结晶、晶粒生长且相变现象等形成的微结 构进行模拟时， 元胞自动机方法表现出特有的多
面性。这种多面性归因于其在考虑大量可能的空间 在变量且变换规则时所展现的广泛适用性和灵活性。
2021/2/2
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•J. Conway和 “生命游戏”
(4)一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死 状态和周围八个邻居的状态 (确切讲是状态 的和)决定: ➢在当前时刻，如果一个元胞状态为 “生”，且八个相邻元胞中有两个或三 个的状态为“生”，则在下一时刻该元 胞继续保持为“生”，否则“死”去； ➢·在当前时刻。如果一个元胞状态为"死"。 且八个相邻元胞中正好有三个为"生"。则 该元胞在下一时刻 "复活"。否则保持为" 死“.
▪ 应当说，格子气自动机是一种特殊的元胞自动机 模型，或者说是一个扩展的元胞自动机模型 (Extended Cellular Automata)。
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22
▪ 早期格子气模型的特征如下:
(1)由于流体粒子不会轻易从模型空间中消失，这个 特征需要格子气自动机是一个可逆元胞自动机模型。
(2)格子气自动机的邻居模型通常采用Margulos类 型，即它的规则是基于一个2X2的网格空间的。
➢ 晶格一般是规则晶格， 其维数、大小可以是任意的。 它表述了系统由基础实体(elementary entities)形成的 构象，这些"基础实体"被认为与所用模型密切相关，它 们可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶 格缺陷或生物界中的动物等等。
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1 概述
➢ 构成系统的基本实体，可以由广义态变量(诸如无量纲数、 粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动 物种类等)进行量化表述。在每个独立的格座，这些态变 量的实际取值都是确定的。并且认为，每一个结点代表 有限个可能的离散状态中的一个态。
小的晶格间距比较妥当； 而且，还必须考虑对变换速率
2021/2/2进行合理修正和重正化。
3
1 概述
▪ 元胞自动机以离散时间步发展演化。
➢ 经过一个时间间隔，要对所有结点的态变量值同时更新。
▪ 近年来，通过对Wolfram (1986) 创立的经典元 胞自动机(CCA)方法的合理拓展，已经建立起一 批更广义的元胞自动机(GCA)方法。
离散位错动力学模拟经常包含有这样一个规则“如果两个反平 行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会自 发淹没。
在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样的规则“如果裂纹 速度达到某个值，试验样品将自主损坏。
在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则“如果晶体局域取向 误差达到某一个值，格座将满足成核的动力学非稳定性临界条
具体讲,构成元胞自动机的部件被称为“元 胞”，每个元胞具有一个状态。
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Байду номын сангаас
4元胞自动机的定义
这些元胞规则地排列在被称为“元胞空间”
的空间格网上，它们各自的状态随着时间变
化，而根据一个局部规则来进行更新，也就
是说，一个元胞在某时刻的状态取决于、而
且仅仅取决于上一时刻该元胞的状态以及该
件” 或“局域储存的弹性能达到某个临界值，格座将满足成核
的热力学非稳定性条件”。
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1 概述
▪ 如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就”的 变换规则，就可以对复杂系统的动力学行为特性进
行模拟。通常而言，所考查粒子之间的局域相互作 用是这一问题的根本基础。
▪ 元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次(例如原子、
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Converting a CAR to a binary string
➢ Remember: 208 = 128 + 64 + 16
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CAR 30(00011110) ten time-steps
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•J. Conway和 “生命游戏”
生命游戏的构成及规则:
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格子气自动机
▪ 格子气自动机 (Lattice一Gas Automata,LGA又称 格气机)，是元胞自动机在流体力学与统计物理中 的具体化，也是元胞自动机在科学研究领域成功 应用的范例 (李才伟，1997)。相对于“生命游戏” 来说，格子气自动机是个更注重于模型的实用性。 它利用元胞自动机的动态特征，来模拟流体粒子 的运动。
2021/2/2
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1 概述
▪ 在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充 一些“如果.. . 就..”规则是很有意义的。
➢ 在塑性学、断裂力学或晶体生长等领域遇到的情况。上 述附加规则的方法为处理“ 数学上的奇点(即非光滑函数 表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的选 择。这些规则经常出现在微结构模拟中：
➢ 例如，对再结晶和晶位生长，元胞自动机以离散化方式 同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些 特性的描述，一般是将局域晶体取向g、储存的弹性能 （即某种近似可测量，诸如位错密度p或局域泰勒因子M) 以及温度T作为态变量，这些变量都是因变量，也就是 它们依赖于自变量，如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等， 就所研究的特定现象来说，上述确定的状态变量应包含
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3 常用元胞自动机
▪ S. Wolfram和初等元胞自动机
初等元胞自动机是状态集S只有两个元素{s1，s2}，即状态个 数k=2，邻居半径r=l的一维元胞自动机，邻居集N的个数 2r=2，局部映射f:S3→S可记为:
其中变量有三个，每个变量取两个状态值，那么就有 2×2×2=8种组合，只要给出在这八个自变量组合上的值， f就完全确定了。
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1 概述
➢ 同时，像常规自动机那样，假定它们是有限个可能状态 中的一个，并对所有元胞状态同步更新。此外，它们与 常规自动机不同的是，格座变换既可以按照确定性定律， 也可以按照概率性定律。因而，广义微结构元胞自动机 在计算材料学中的发展势头日益强劲。
➢ 鉴于这些特点，元胞自动机方法为模拟动力学系统的演 化提供了一种直接的手段，这些动力学系统包含有大量 基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元。对于一 个简单的物理系统，时间是其唯一个独立变量（自变量） 这种直接方法，就相当于对多少有些复杂的偏微分方程 组，利用有限差分近似法给出其离散解。
原子团簇、位错段、亚晶粒)上完成的， 但这些方
法对连续体空间进行离散化和映射处理的派生方法，
不存在物理特征线度或时间刻度的内禀标定问题。
这就是说，对连续体系统的元胞自动机模拟，需要
定义相应的基本单元和对应的变换规则，展现系统
在给定层次上的行为特性。这就解释了为什么将元
胞自动机方法放在本章关于介观-微观方法中介绍，
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例如以下映射便是其中的一个规则:
对于任何一个一维的0，1序列，应用以上规则，可以产生 下一时刻的相应的序列，应用以上规则产生:
t: 010111110101011100010
t+1:1010001010101010001
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八种组合分别对应0或1，这样的组合共有28=256 种，即初等元胞自动机只可能有256种不同规则。
元胞自动机
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1 概述
▪ 元胞自动机(Cellular Automata)作为描述处理复杂 系统在离散空间、时间上演化规律的算法，通常采 用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换 规则进行具体操作。
▪ 空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。
▪ 晶格定义为具有固定数目的点，这些点可以看作是 有限差分场中的结点。
而不是与蒙特卡罗方法或分子动力学放在一起。
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1 概述
▪ 同时，从物理角度看，分子动力学表示的是真正的 微观模型，而在使用元胞自动机方法时，并不局限 任何特定体系，可适用于任何系统。
▪ 与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法得到的平 衡系综的热力学量， 在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前， 一个重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体 现了"基础物理实体"的特性。
▪ 由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系， 所 以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的 方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
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▪ 元胞自动机(Cellular Automata)，简称CA，也有 人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或 单元自动机。
▪ 元胞自动机是一时间和空间都离散的动力系统。 散布在规则格网 (Lattice Grid)中的每一元胞(Cell) 取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据 确定的局部规则作同步更新。大量元胞通过简单 的相互作用而构成动态系统的演化。
➢ 后者作为元胞自动机方法的变种，它比原来的方法有更 强的适应性，尤其是在计算材料学中的一些特殊应用方 面优点突出。
➢ 广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间 格栅，这时的空间既可以是实空间，也可以是动量空间 或波矢空间。然而，在空间上通常被认为是均匀的，亦 即所有格座都是等价的，并被排布在规则晶格上，其中 的变换规则在各处都是一样的。
在所使用的各种局域结构演化定律中。这一思想表明，
根据局域的信息、数据且变换规律，可以对诸如复原、
成核及其生长等现象的机理给出相应合理的唯象解释。
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2元胞自动机在材料科学中多面性
➢ 通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量， 元胞自 动机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，包 括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶 界和孪晶等. 这些局域性缺陷结构， 可以借助其态变量 的相应值或梯度值进行表述，用高位错密度和大的局域 晶格曲率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的 晶界迁略率m， 可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和 晶界法线的空间取向n来表征。
1 概述
▪ 元胞自动机通常被认为是离散计算方法的普遍化推 广，具有更加广泛的适用性和多功能的特点。
➢ 元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种 有限差分法、有限元法、伊辛( Ising) 法、波茨( Potts) 方法等。
➢ 这种灵活适用性是基于这样个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，自动机还能够实际 地包括任何元素或规则。
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1 概述
➢ 应该强调指出，这些元胞自动机方法对"基础实体"类型 和选用的变换规则没有任何限制。它们可以对不同的处 理状况进行描述，诸如：简单有限差分模拟中态变量值 的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情况" 在任何变换条件下的模糊集合元素， 以及元胞的初级生 长与衰减过程等。
▪ 将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自 动机的演化。
➢ 这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规则，格座 状态是其前一状态及近邻格点（座）状态的函数，而在 整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元胞 自动机大多采用局域变换规则。
➢ 这种方法对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易接
受的。特别对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较
➢ 在计算材料学领域， 元胞自动机的变换规则般存在于有 限差分、有限元，以及关于时间和2个或3个空间坐标的 偏微分藕合方程组的蒙特卡罗近似之中。同时，局域变 换描述近邻格座之间的短程相互作用，而整体变换规则 能够处理长程相互作用。通常，根据各个态变量的取值 可以给出相应格座的状态。
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▪ 格子气自动机
(3)依照规则和邻居模型在计算完一次后，需 要将这个2X2的模板沿对角方向滑动，再计 算一次。那么，一个流体粒子的运动需要两 步t～t+l～t+2才能完成。
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4元胞自动机的定义
元胞自动机是定义在一个由具有离散、有限 状态的元胞组成的元胞空间上，并按照一定 局部规则，在离散的时间维上演化的动力学 系统。
▪ 构成: 元胞自动机最基本的组成:元胞、元胞空间、 邻居及规则四部分。简单讲，元胞自动机可以视 为由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所 组成。
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2元胞自动机在材料科学中多面性
▪ 在对由再结晶、晶粒生长且相变现象等形成的微结 构进行模拟时， 元胞自动机方法表现出特有的多
面性。这种多面性归因于其在考虑大量可能的空间 在变量且变换规则时所展现的广泛适用性和灵活性。