博弈论复习题及答案

博 弈 论
题型一：纯策略纳什均衡
1、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。

按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。

谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。

若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。

各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）：
小猪
按 等待 大猪 按 5，1 4，4
等待 9，-1 0，0
求纳什均衡。

在这个例子中，我们可以发现，大猪选择按，小猪最好选择等待，大猪选择不按，小猪还是最好选择等待。

即不管大猪选择按还是不按，小猪的最佳策略都是等待。

也就是说，无论如何，小猪都只会选择等待。

这样的情况下，大猪最好选择是按，因为不按的话都饿肚子，按的话还可以有4个单位的收益。

所以纳什均衡是（大猪按，小猪等待）。

题型二：混合策略的纳什均衡
2、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。

乙
甲
U D 可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混合策略Nash 均衡((9
891,),(7
374,)
据说是去年考了的原题！
3、Smith 和John 玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同， John 给Smith 3美元，如果不同，Smith 给John 1美元。

（1）列出收益矩阵。

（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。

该博弈是零和博弈，无纳什均衡。

（2）Smith 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，
John 选1的效用为：3
1131131)3(311-=⨯+⨯+-⨯=U John 选2的效用为：3
1131)3(311312-=⨯+-⨯+⨯=U John 选3的效用为：3
1)3(311311313-=-⨯+⨯+⨯=U 类似地，John 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith 选1的效用为：3
1)1(31)1(31331'1=-⨯+-⨯+⨯=U Smith 选2的效用为：3
1)1(31331)1(31'2=-⨯+⨯+-⨯=U Smith 选3的效用为：3
1331)1(31)1(31'3=⨯+-⨯+-⨯=U
因为321U U U ==，'3
'2'1U U U ==，所以： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)31,31,31(),31,31,31(是纳什均衡，策略值分别为John ：31-=U ；Smith ：31'
=U 。

这个也是据说的去年原题 古诺模型 斯塔伯格模型我觉得还是很重要的 4、假设双头垄断企业的成本函数分别为：1120Q C =，2222Q C =，市场需求曲线为
Q P 2400-=，其中，21Q Q Q +=。

（1）求出古诺（Cournot ）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反
应和等利润曲线，并图示均衡点。

（2）求出斯塔克博格（Stackelberg ）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。

（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。

答：（1）对于垄断企业1来说：
2
19020)](2400max[211
121Q Q Q Q Q Q -=
⇒-+- 这是垄断企业1的反应函数。

其等利润曲线为：21211122380Q Q Q Q --=π 对垄断企业2来说：
4
502)](2400max[122
2
221Q Q Q Q Q Q -=⇒-+- 这是垄断企业2的反应函数。

其等利润曲线为：22212242400Q Q Q Q --=π 在达到均衡时，有：
⎩⎨⎧==⇒⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--=30
80245019021
11Q Q Q Q 均衡时的价格为：180)3080(2400=+⨯-=P 两垄断企业的利润分别为：
12800802308028038021=⨯-⨯⨯-⨯=π
3600304308023040022=⨯-⨯⨯-⨯=π
均衡点可图示为：
（2）当垄断企业1为领导者时，企业2视企业1的产量为既定，其反应函数为：
4/5012Q Q -=
则企业1的问题可简化为：
⎩⎨⎧==⇒-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+-3
/803/280204502400max 21
1
111Q Q Q Q Q Q
均衡时价格为：16038032802400=⎪⎭⎫
⎝
⎛+-=P 利润为：3/392001=π，9/256002=π 该均衡可用下图表示：
企业2领先时可依此类推。

（3）当企业1为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。

而企业2获得的利润较少。

这是因为，企业1先行动时，其能考虑企业2的反应，并以此来制定自己的生产计划，而企业2只能被动地接受企业1的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先动优势”
题型三：子博弈完美纳什均衡
5、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q 1-q 2-q 3，这里q i 是企业i 的产量。

每一企业生产的单位成本为常数c 。

三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业1首先选择q 1≥0；(2)企业2和企业3观察到q 1，然后同时分别选择q 2和q 3。

试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。

答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q 1，第二阶段企业2和3观测到q 1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。

我们按照逆向递归法对博弈进行求解。

（1）假设企业1已选定产量q 1，先进行第二阶段的计算。

设企业2，3的利润函数分别为：
223212cq q )q q q a (----=π 323213cq q )q q q a (----=π
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
023212
2
=----=∂∂c q q q a q π （1）
0c q 2q q a q 3213
3
=----=∂π∂ （2） 求解（1）、（2）组成的方程组有：
3
c
q a q q 1*
3*2--=
= （3）
（2）现进行第一阶段的博弈分析： 对与企业1，其利润函数为； 113211cq q )q q q a (----=π 将（3）代入可得：
3
)
c q a (q 111--=
π （4） 式（4）对q 1求导：
0c q 2a q 11
1
=--=∂π∂ 解得：
)c a (2
1
q *1-=
（5） 此时，2*1
)c a (12
1
-=π （3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：
)c a (21q *
1-=
,)c a (6
1q q *3*2-== 题型四 重复博弈的触发机制 求δ的范围这个是重点
6、如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为δ。

试问δ
参考答案：
由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策略，局中人i 的策略组合s 的最好反应支付
)s ,s (P max )s (i i i S s i i
i -∈=φ=5,P i (s*)=4，P i (s c
)=1。

若存在子博弈完美纳什均衡，必须满
足：41
1545)
s (P )s ()s (P )s (c
i *i *i *i =--=-φ-φ≥δ，即只有当贴现因子δ>1/4时，才存在子博弈完美纳什均衡。

7、在Bertrand 价格博弈中，假定有n 个生产企业，需求函数为P=a-Q ，其中P 是市场价格，Q 是n 个生产企业的总供给量。

假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”(一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”)。

求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子δ是多少。

并请解释δ与n 的关系。

分析：此题可分解为3个步骤
（1）n 个企业合作，产量总和为垄断产量，价格为垄断价格，然后平分利润。

（2）其中一个企业采取欺骗手段降价，那个这家企业就占有的全部市场，获得
垄断利润
（3）其他企业触发战略，将价格降到等于边际成本，所有的企业利润为零。

参考答案：
（1）设每个企业的边际成本为c，固定成本为0
P=a-Q
TR=P*Q=(a-Q)*Q
MR=a-2Q
因为：MR=MC
a-2Q=c
则:Q=(a-c)/2
P=(a+c)/2
π=(P-c)*Q=(a-c)2/4
每家企业的利润为(a-c)2/4n
（2）假设A企业自主降价，虽然只是微小的价格调整，但足以占领整个市场，获得所有的垄断利润——(a-c)2/4
（3）其他企业在下一期采取冷酷策略，使得所有企业的利润为0
考虑：
A企业不降价： (a-c)2/4n， (a-c)2/4n，……
A企业降价： (a-c)2/4， 0，……
使垄断价格可以作为完美均衡结果，就要使得不降价的贴现值大于等于降价的贴现值。

设贴现因子为δ
A不降价的贴现值： [(a-c)2/4n][1/(1- δ)]
A降价的现值： (a-c)2/4
于是：[(a-c)2/4n][1/(1- δ)]≥ (a-c)2/4
解得：δ≥1-1/n
题型五
不完全信息下的静态博弈产生的贝叶斯均衡
详情请见PPT 302面 303面以及不完全信息下的古诺模型
8、市场进入博弈（贝叶斯均衡）
一个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。

A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。

两种成本情况下的博弈矩阵如表6.1。

表6.1 市场进入博弈
B
高成本低成本
A 进入
不进入
假定B 知道进入者A 的成本为高成本，且与B 为高成本时的成本相同。

假若信息是完全的，则当B 为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认），另一纳什均衡（不进入，斗争）是含有不可置信的威胁。

当B 为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争），即若A 进入行业，具有低成本优势的B 将通过降低价格将A 逐出市场。

由于存在行业进入成本，所以A 被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。

当A 不知道B 的成本情况时，他的选择将依赖于他对B 的成本类型的主观概率或先验概率密度。

设A 对B 是高成本的先验概率判断为P ，则A 认为B 为低成本的概率为P -1。

如果A 进入，其期望支付为 )10)(1()40(--+P P 如果1不进入，其期望支付为0。

当且仅当0)10)(1()40(≥--+P P 或51≥P 时，A 选择进入；反之，当5
1
<P 时，A 不进入。

于是，贝叶斯均衡为：
（进入，默认），高成本，51≥P ； （进入，斗争），低成本，5
1
≥P ；
（不进入，*），5
1
<P
其中*表示可以是斗争，也可以是默认。

不完全信息下的动态博弈产生的完美精炼贝叶斯均衡挺难的 我没找到例题，要是明天早上还有时间可以简单的找个例子说一下~。