高中物理竞赛第3章 机械运动的守恒定律合集共69张

第
三
章
机
第一篇
械
运 动
力学
的
守
恒
定
律
3.1 力的空间积累效应
力在空间的积累效应 ——做功。
一、功 ——等于力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
r
A
F
Δr
cos
单位：焦耳，J
A F Δr
变力对质点做功的计算
如图所示，质点M 在变力作用下，
b
沿曲线从a运动到b，变力所做的功？
1.无限分割路径；
2.以直线段代替曲线段；
所需的最小速度。
解 取抛体和地球为一系统 ，
系统的机械能 E 守恒。
h
v
E
1 2
mv12
(G
mM E RE
)
``````
1 mv2 (G mM E )
2
RE h
向心力等于万有引力
m
v2 RE
h
G
mM E (RE h)2
解得 v1
2GmE GmE RE RE h
h v
``````
g
F
F kxi
x
o xA xB
W xB Fdx xB kxdx
xA
xA
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
W kxdx 0
结论：万有引力、重力、弹性力做功都与路径无关。
2 保守力和非保守力的定义
保守力：力所做的功与质点的运动路径无关， 而只与质点的始末位置有关。
引力功 重力功 弹力功
L
F2
dr
b
aL
Fn
dr
W1 W2 Wn
3 功率 ——表示做功的快慢，即单位时间内所做的功。
功率 P lim W dW
t0 t
dt
由
dW F dr
有
P dW
F
dr
F
v
dt
dt
功率的单位：瓦特，W； 或者，千瓦，kW
1 kW=103 W
例3.1 如图所示，已知摆球质量为m，摆长为l。若水平力F无限 缓慢地把摆球从平衡位置拉到使摆线与竖直方向成θ0角的位置。 求力F对摆球所做的功。
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0 )
质点系的功能原理：质点系中机械能的增量等于
外力和非保守内力所做的功之和。 W ex
W in nc
E
E0
例3.3 如图所示，轻弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为 m的物体，物体放在水平桌面上。弹簧的劲度系数为k，物体与桌 面间的摩擦系数为μ。若以恒力F将物体自平衡位置向右拉，求物 体到达最远时系统的势能。
引力势能： 重力势能：
f
(r )
G
m'
m
r
f (r ) mgz
弹性势能：
f
(r )
1
k x2
2
W E p0 E p (E p E p0 ) E p
保守力对质点所做的功等于势能增量的负值。
说明：
1.势能属于保守力系统，是以保守力相互作用的两个 或多个物体共同拥有的。
2.势能的大小由保守力系统中物体的相对位置决定， 若其它物体静止，则质点的势能将决定于其位置， 通常选定一个位置的势能为0，称为势能零点。
解：由于过程无限缓慢，因此摆线与竖直方向成任意角度θ时， 摆球所受拉力F、重力mg和绳子张力FN三力平衡。沿水平方向 和竖直方向的牛顿第二定律为
F – FT sinθ= 0 FTcosθ- mg= 0 由此可得
F = mg tanθ 当θ改变时，力F的大小也随之改变。 摆球沿圆周运动，位移与力夹角θ， 且ds=l·dθ，所以
3.将各段元功代数求和；
n
W lim r 0 i1
Fi r cosi
F1 1
F2
2
a r1
F cos
b
Fds cos
W
a
b
F dr
b
F cosds
a
a
oa
s
ds
b
补充说明
1 功是标量，只有大小正负之分。
dW F dr
dW
F
cos
dr
F
cosds
dri
i
B
*
dr Fi
dr1*A1
太阳质量 mS, 抛体与太阳相距 RS。
抛体首先要脱离地球引力的束缚，假设抛体
远离地球以后相对地球的速率为 v'。
取地球为参考系，由机械能守恒得
1 2
mv32
(G
mEm) RE
1 2
mv'2
若取太阳为参考系, 抛体相对于太阳的速度
为 v'3 ，
则
v'3 v'vE
地球相对于 太阳的速度
如 v' 与 vE 同向，有 v'3 v'vE
r (t)
m
O
B
m从 A点移动到 B点时 F 做功为
W
F
dr
B
(G
A
m' m r3
)r
dr
r dr r dr cos rdr
W
rB rA
(G
m' m r2
)dr
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
r (t)
dr
万有引力所做的功，只与起 点和终点有关，与路径无关。
n
n
n
n
Leabharlann Baidu
Wi外 Wi内 E ki E ki 0
i 1
i 1
i 1
i 1
3.2 保守力做功的特点 势能
一、保守力与非保守力
1 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1） 万有引力做功的特点
当 mm的'为位参置考矢系量，为且r 为时原，点， m' 对 m的万有引力为：
F
G
m' m r3
r
A
m'
设链条质量为m，以桌面高度为重力势能零点。
系统初态机械能为
E0
ma l
g
a 2
系统末态机械能为 E mg l 1 mv2
22
根据机械能守恒定律， mg l 1 mv2 ma g a
22
l2
解方程得 v g (l2 a2 )
l
例3.6 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的
顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并
3.质点在保守力场中某点M的势能，等于质点从M点
移动至势能零点M0的过程中保守力所做的功。
W [ f (rM0 ) f (rM )]
Ep
M
0
F
dr
M
三、几种常见的势能函数和势能曲线
Ep mgz
Ep
Ep
1 2
k x2
Ep
Ep
G
m'm r
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线
性势能为Ep=kx2/2，那么 x=？。 根据功能原理，有 Fx mgx 1 kx2 2 得到 x 2 (F mg) k
所以，物体m到达最远点时，系统的势能为
Ep
1 2
k x2
2 k
(F
mg)2
二、机械能守恒定律
功能原理： W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0 )
F1
F
0 90, dW 0 力对物体做正功；
90 180 , dW 0 力对物体做负功；
90
F
dr
dW 0 力对物体不作功。
2 合力的功
多个力同时对物体做功，等于各力做功的代数和。
W
b F dr
aL
b aL (F1
F2
Fn ) dr
b
a
L
F1
dr
b
a
GmE RE2
v1
gRE
(2
RE RE
h
)
地球表面附近 RE h 故 v1 gRE
E0
计算得 v1 7.9 103 m/s 第一宇宙速度
注意： E 1 mv2 (G mM E ) GmM E 0
2
RE h
2(RE h)
2） 人造行星 第二宇宙速度
第二宇宙速度v2 ，是抛体脱离地球引力所需
对于物体m和弹簧k组成的系统，弹性力是保守内力，而系 统的非保守内力没有做功。
在m从平衡位置移至最远点x的过程中，外力FN、F’和mg不 做功，外力F对m做功为 Fx ，摩擦力fr 对m做功为 -μmgx ，即
外力对系统所做的功之和为A外= Fx-μmgx 。
系统初态的动能和势能均为零，系统末态的动能为零，弹
解：(1) 物体m和弹簧k组成一个系统。
(2) 外力：物体的重力mg，桌面支承 力FN，桌面摩擦力fr，拉力F；墙施于弹 簧的力F’。内力：物体受到的弹簧弹力f, 弹簧受到物体的反作用力f ’ 。
(3)以平衡位置为原点，建立坐标轴OX。在F合的作用下， 物体从平衡位置O开始向右运动。刚开始，F合>0，m加速运动； 当F合=0时，m的加速度为零，速度最大；此后F合<0，m减速向 右运动，直到速度为零，m到达了最远点。
r(t dt)
2 ） 重力做功的特点
P mgk
dr dxi dyj dzk
z
zA A
W
B P dr
zB(mg)dz
A
zA
zB
mg
B
o
y
(mgzB mgz A )
x
重力所做的功，也是只与起点和终点有关，而与 路径无关。
W (mg)dz 0
3 ） 弹性力做功的特点
s0
0
A= F cosds = mgtan cos ld =-mgl cosθ︳00
0
0
= mgl(1-cosθ0 )
二、质点动能和动能定理
W b F d r b Fds cos Fn
a
a
Fb
F cos F
F
F
ma
m dv dt
a
W
b a
F ds
b a
m dv ds dt
要脱离太阳引力，机械能至少为零。
E
1 2
mv'32 (G
mSm ) RS
0
则
v'3
(
2GmS RS
)1
2
设地球绕太阳轨道近似为圆周。
则
mE
vE2 RS
G
mE mS RS2
vE
(G
mS )1 2 RS
h
v
v' v'3 vE
所以
v' ( 2 1)( GmS )1 2 RS
取地球为参照系
1 2
mv32
系统机械能守恒 EB EA
即
1 2
mvB2
1 2
k R2
mgR(2
sin 30)
又
kR mg m vB2
R
P
R
30 A
o
所以
k 2mg
R
B Ep 0
宇宙速度
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图。 抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度。
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星
的最小发射速度。
抛体和地球组成一个系统，机械能 E守恒。
E
1 2
mv22
(G
mEm ) RE
0
v
h
v2
2GmE RE
2 gRE
``````
E0
计算得 v2 11.2km/s 第二宇宙速度
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度
所需第的三最宇小宙发速射度速度v 3。，是指抛体能够脱离太阳引力
h
v
设 地球质量 mE , 抛体质量m , 地球半径 RE ,
当
W ex
W in nc
0
时，有 E E0
机械能守恒定律：在只有保守内力做功的情况
下，质点系的机械能保持不变。
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) E Ek Ep 常量 Ek Ep
说明 守恒定律的意义 不必追究过程细节，而可以对系统的状态下结
论，这是所有守恒定律的优点。
守恒定律是对一个系统而言的。 只有保守力做功时，系统的动能与势能可以相互 转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于 势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。
例3.5 如图所示，总长为l的均匀细链条，开始时长为a的一段从 桌面边缘下垂，另一部分放在水平桌面上，并用手拉住A端，使整 个链条静止不动，然后放手，链条开始下滑。求链条刚好全部离开 桌面时的速率。
解: 链条和地球组成一个系统。系统的外 力只有桌面的支承力FN，方向垂直向上， 因而在链条滑动过程中，FN不做功。系统 又无非保守内力，所以系统机械能守恒。
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
3.3 机 械 能 守 恒 定 律
机械能——系统的动能与势能之和。 机械能 E Ek Ep
一、质点系的功能原理
由质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
W ex
Wcin
W in nc
Ek
Ek0
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
在圆环上运动(不计摩擦)。开始时小球静止于点 A, 弹
簧处于自然状态，其长度为圆环半径R。假如当小球运
动到圆环的底端点B时，小球对圆环没有压力。求弹簧
的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
A B 只有保守内力做功，
30 A
o
系统机械能守恒 EB EA
取图中点 B为重力势能零点。
B
Ep 0
W
(G
m'm) (G rB
mr'Am)
W (mgzB mgzA )
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
非保守力：力所做的功与路径有关。例如摩擦力等
二、势能和保守力的功
保守力做功只与质点的始末位置有关，因此，
可以引入一个以质点位置为变量的标量函数，使 f (r)应具有W能量的[单f (位rB，)所以f f((rrA))称] 为势能。
(G
mE m ) RE
1 2
mv'2
计算得
v3
(v'2 2G mE )1 2 RE
16.4km s-1
第三宇宙速度
抛体的轨迹与系统机械能的关系
v E 0
h
E 0 椭 圆(包括圆)
v1 7.9km/s
E0 E0
E 0 抛物线
v2 11.2km/s
E 0 双曲线 v3 16.4k m s
v v0
mvdv
W
1 2
mv2
1 2
mv02
动能（状态函数）
W Ek2 E k1
Ek
1 2
mv2
p2 2m
动能定理：
作用于质点的合力在某一过程中对质点所做
的功，等于质点在该过程中动能的增量。
三、质点系的动能定理
若系统包含n个质点：m1、m2 、···、mn ，其中第i 个质点受到的外力为F外i，受到的内力为f内i 。