高等土力学(李广信)2.6_土的剑桥模型

弹性墙在q-p平面上的 投影AF － 子弹头屈服轨迹
弹性墙上－v0p及pv唯一
图2－59 子弹头屈服轨迹
4. 物态边界面的方程 屈服轨迹沿NCL移动，得到三维变量表示的物态 边界面方程：
M ' p
' q
' N v ln p
（1）
5. “湿粘土”的应力应变关系表达式
图2－57 屈服轨迹
d
q M ' M p d
p V p
'
（13）
上式表示了流动规则：
M时，dpv=0 0时， dvp/dp =M
图2－58 正交性示意图
流动规则
屈服函数：
d dq d dp
p v p
与曲线正交
d
q M ' M p d

（5）
2.6.5关于剑桥模型的讨论
1.用修正的模型计算的三轴试验应力应变关系比 用原始模型计算的更接近于试验。 2. 修正模型当较小时，计算偏小，为此增加了 一个平行于p的附加屈服面。 3.由于屈服面在三维应力空间中是一个椭球，破 坏准则采用莫尔－库仑准则。 4.对于平面应变和三维应力应变关系，q, p,v, 用其三维形式表示。
dW p Mpd
p p V
p
Mpd
p
（8）：这是一个重 要假设
（4）
dW pd qd
dE dW dW
e p

1 e
dp Mpd
'
（9）＝ （8）＋ （7）
' d p ' ' ' p d v Mp q d ' 1 e p

dq ' ' d dp ' 1 e Mp M p 'd Mdp ' 1 e Mp' M
应力应变关系
1 dp ' d v d ' 1 e M p
包括了正常固结土、重超固结土的 可能的（极限）应力状态
图2－52 完全的物态边界面
完全的物态边界面 包括超固结土的 完全的物态边界 面－(状态只能在 面内和面上）
Vi-Ti-Si-Ni
图2－53 完全的物态边界面
HS
超固结
CS
正常固结
图2－54 排水试验的应力体变曲线
图2－55 正常固结土与超固结土的应力路径
2.6.2 超固结土及完全的物态边界面
1.正常固结粘土 2.轻超固结粘土：OCR比较小，卸载范围不大 3.强超固结粘土：OCR很大, 卸载后的应力比先 期固结应力小很多
轻超固结粘土：
0－ pm －L－D(U)
pm
SL－回弹曲线，L位于 NCL与CSL之间 LD:排水试验－体缩 LU:不排水－体积不变， 正孔压 强度线唯一，剪缩
2
（3）
屈服轨迹的形状：
(2)
椭圆（帽子）屈服面
M
图2－60 修正剑桥模型的椭圆帽子屈服面
2.应力应变关系
1 2d dp d v ' 2 2 1 e M p
'
（4）
2 2d dp ' 2 d 2 ' 2 2 1 e M M p
比体积：v1+e
v=e
e 1
v－e/(1+e0)
图2－44 的几何意义
固结不排水试验的有效应力路径相似性
q
U3
D2
D3
临界状态线
CSL: Critical State Line
U2
U1
D1
p
C2 C1 C-D：固结排水试验有效应力路径 C-U：固结不排水试验有效应力路径 C3 图2－45 固结不排水试验
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹
1. 弹性墙
正常固结粘土与轻超固结粘土（wet clay)
各向等压固结: 加载：NCL 卸载－弹性墙
弹性墙
图2－56 弹性墙
2. 能量方程
dE p d v q d
' '
（1）
变性能＝弹性变性能＋塑性变性能
dE dW dW
eFra Baidu bibliotek
p
（2）
其中
dW pd qd
v=- lnp
p＝exp((-v)/ ) q=Mp=M exp((-v)/ )
临界状态线，物态面
图2－47 正常固结粘
土的物态边界面
三维空间的物态边 界面
（1）p,q,e三者一一对应 （2）有效应力路径的唯一性
图2－48正常固结粘土的物态边界面
图2－49 各向等
压的加载与卸载
v=N- lnp：初始加载 v=v- lnp：回弹曲线
的有效应力路径
NCL: normal consolidation line CSL: critical state line q=M p v=N- lnp（NCL)
N
v=- lnp (CSL) p＝exp(-v)/

图2－46
正常固结粘土的排水与不排水应力路径
物态边界面与临界状态线
dq ' q ' ' M 0 ' dp p
p V p
'
(13)
（14）
dq ' q ' ' M 0 ' dp p
q' Mp ' ln p ' ln c
（14）
积分：
（15）
边界条件：p=p0, q=0: v=v0
f q' p' M ln p '
0
p
(16): 屈服函数
图2－50 轻超固结粘土的路径
重超固结粘土：
0－pm －H－DH(UH)
H-DH-RH: 排水试验－剪胀与 软化
H-UH: 不排水试验,负孔压，
p m
强度超过临界状态线 峰值强度（TS)与残余强度 （临界线上）
排水试验的应 力应变曲线 图2－51重超固结粘土的路径
完全的物态边界面： 0T：零应力线（无拉应力） TS：超固结土的强度线-Hvorslev面 CS：v=常数的Roscoe 面
p p V
p
dW p
p
d
p V
2
M d
' p

p 2
（1）
代入流动规则：
'
dp d dq d 0
' p v
2 2
dq M 0 ' dp 2
（2）
对式（2)积分，带入边界条件，得到方程：
dq M 0 ' dp 2
' 2 2
p （3） p 2 2 M 0
' dq ' d dp ' 1 eMp M ' ' p d Mdp ' 1 e Mp M
（2）
（4）
2.6.4 修正的剑桥模型
1.屈服函数 塑性能能量方程： 假设：
dW pd qd
2.6 土的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面 （state boundary surface) 2.6.2 超固结土及完全的物态边界面
2.6.3 弹性墙与剑桥模型的屈服函数
2.6.4 修正的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面
三轴应力状态：
偏应力： q=
平均主应力：p=(+2)/3
dp
1 e p
思考题
1. 为什么屈服轨迹是弹性墙在p΄-q平面上的投 影而不是固结不排水有效应力路径？ 2. 为什么在剑桥模型中引进塑性应变能的假设？
作业
习题2.33（剑桥模型的应力应变关系推导）
M p' q' ' N v ln p
（1） 微分此式
d v dv 1 e
1 dp ' d v d ' （2） 1 e M p
dE
代入下式 （3） （4）

1 e
dp ' Mp'd p 'd v q 'd
一般的应力应变关系
d ij d d
p ij
p ij
e ij
f f p f q d d d ( ) ij p ij q ij
1 e d ij d v , i j 3 e d ij 0, i j
e
d
e v
（10）＝（1） ＋（9)
1 ' d d v dp ' 1 e p
p V
(11)
p d Mp q d
' p v ' '
(12)=(11) +(10)
d d
p
d
q M ' M p d
p V p
'
(13)
3. 屈服轨迹与屈服方程
弹性墙上塑性体应变pv为 常数，如果以pv为硬化参数 则AF(A´F´)为屈服轨迹
2
2 M
' p 2 M
2 2 2 ' ' p p q 0 0
（3）
修正剑桥模型的屈服面方程
' p 2 M
2 2 2 ' ' p p 0 q 0
e e v
e
dW pd qd
p p v
p
（3）
（4）
塑性变性能的基本假设：
1）假设一切剪应变是不可恢复的，亦即：
d 0
e
（5）
e ' d v d p e d V 1 e 1 e p'
（6）
dW
e
pd
e v


1 e
dp ' （7）
2) 假定塑性变性能可表示为：