概率分布函数的输运方程模型
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l fu ox
k
fu
ox
′ m′ mox 控制方程中各项的模拟-2 fu
第五项―湍流输运项的模拟： 第五项 湍流输运项的模拟：可以参照常用的 湍流输运项的模拟 梯度模拟准则” “梯度模拟准则” ∂ ∂ ut ∂ ′ ′ (3-84) ui m′ mox = m′ mox fu fu
∂xi ∂xi σ f ∂xi
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 空间位置和变量 的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 模型和PDF输 用RBU模型和 模型和 输 运方程进行计算的结 果大抵相同， 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
平均化学反应速率
Rfu = −Bρ mfu mox exp(−E / RT)[1+ a0
2 2
′ m′ mox fu mfu mox
T′2 T′mox + T′m′ ′ fu + a2 +a1 ] Tmox + Tmfu T
(3-81)
ε
′ 为使该方程封闭， 为使该方程封闭，还需给出以 m′fu2 和 mox2 为因变 量的微分方程
评价
物理思想和推理较清楚 由于需要模化的量的数目增加和完全略去了温 度脉动对燃烧速率的影响， 度脉动对燃烧速率的影响，没有能够达到提高 计算精度的目的。 计算精度的目的。 在该模型的基础上进一步考虑温度脉动对燃烧 速率的影响，建立、 速率的影响，建立、模化并求解以 ′ m0xT， m′ T′和 ′2 为因变量的微分方程，但改进 T 为因变量的微分方程， fu 甚微。 甚微。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 ′ 的二阶关联项 m′fumox 的控制方程
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响， 等人为简化模拟过程 出了在F中的 fu ′ 出了在 中的 m′ mox 的控制方程 ∂ ′ ′ ′ ρui m′fumox = Dl gradm′fumox − 2Dl gradm′fu ⋅ gradmox ∂xi 1 2 3 2µt ′ + gradmfu ⋅ gradmox − gradui′m′ mox fu σf 4 5
第六项： 第六项：可以用简单地略去脉动的三阶关联项 来模拟
′ 模拟后 m′fumox 控制方程
′ ∂mfu ∂mox ∂ ∂ µeff ∂m′ mox fu ′ + c1µeff ρui m′fumox = ∂xi ∂xi σ f ∂xi ∂xi ∂xi ′ −2ρ m′ mox − Bρmfumox exp(E / RT ) fu k ′ m′ mox mox m′2 ′2 fu fu ⋅ (mox + smfu ) + + mfumox mox mfu (3-85)
启示： 启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 特性及边界条件有关。 尝试： 的博士论文(1976年) 尝试：Pope的博士论文 的博士论文 年
单变量概率分布函数输运方程
D ∂ ρ P(φ) = − ρ P(φ)ui Dt ∂xi
气体燃料锅炉内轴上温度分布
不同模型算得的气 体燃料锅炉内轴上 温度分布与实验数 据的对比。 据的对比。 用上述两个模型和 旋涡破碎模型算出 的结果大致相同， 的结果大致相同， 然而本节的两个模 型却要多解好几个 微分方程， 微分方程，这个代 价没有换取到应有 的成功。 的成功。
1--旋涡破碎模型 旋涡破碎模型 2--不计温度脉动 不计温度脉动 3--考虑温度脉动 考虑温度脉动
按照“梯度准则”进行模拟， 按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 ∂ P(φ)ui = −c3 P(φ) ε ∂xi
(3-77)
模化方法
主要与微尺寸的小脉动有关， 因子 Γ(∂φ / ∂xi ) 主要与微尺寸的小脉动有关，而 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 主要受大尺度的大脉动控制， 因子 主要受大尺度的大脉动控制 为这两者不相互关联
′ −Kf [(mox + Smfu )m′ mox + Smox m′2 fu fu ′ ′ +mfu m′ + (mox + Sm′ )m′ mox ] fu fu 6 式中D 表示层流交换系数， 表示化学当量比 表示化学当量比， 式中 l表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
2 ∂φ ∂ ∂ − P(φ)S(φ) + ρ P(φ)Γ ∂φ ∂φ ∂xi
(3-76)
S(φ)是变量 的源或汇 是变量φ的源或汇 是变量 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
PDF→受输运方程控制的因变量
对燃烧现象的更深入的实验研究发现： 对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域， 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。 变量的概率分布函数也不尽相同。
2 ox
(3-83)
′ m′ mox 控制方程中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项的意义 fu
∂ ′ ρui m′fumox 表示因变量的对流速率 第一项 ∂xi 第二项 Dl gradm′fumox 表示该因变量的层流输运 ′
′ Dl gradm′ ⋅ gradmox 表示分子扩散引起的脉动耗散 fu 2µt gradmfu ⋅ gradmox 表示由浓度均值的空间 第四项
§3.3 概率分布函数 的输运方程模型
回顾
湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布， 于双δ函数形的概率分布 于双 函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数 函数分布等形式的概率分布函数
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度） 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope) 分布函数的输运方程
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力， 湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型， 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率， 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？ 模型呢？
启示
依靠增加微分方程的数目， 依靠增加微分方程的数目，以兼顾湍流脉动和 化学动力学因素对湍流燃烧速率的影响， 化学动力学因素对湍流燃烧速率的影响，提高 计算精度是十分困难的。 计算精度是十分困难的。 在模化的思路方面来个根本的变化， 在模化的思路方面来个根本的变化，以摆脱困 境― ESCIMO湍流燃烧理论 湍流燃烧理论
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 设反应机理用单步不可逆反应来表征， 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) Rfu = −Bρ2mfu mox exp(−E / RT ) 经过对因变量m 经过对因变量 fu，mox和T的雷诺分解以及对 的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开， 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量， 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
式中， 式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 ， 。 或把式(3-81)写成 或把式 写成 Rfu = −Bρ2mfumox exp(−E / RT )[1+ F] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响， 对燃烧速率进行模化的困难所在。 对燃烧速率进行模化的困难所在。
不均匀性引起的因变量的净增长率
′ 第五项 gradui′m′fumox 表示因变量的湍流输运
σf
第六项(其余 表示化学反应引起的因变量的变化 第六项 其余)表示化学反应引起的因变量的变化 其余
′ m′ mox 控制方程中各项的模拟-1 fu
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、 为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 六项进行模化。 第三项： 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 适用于Schmit数接近于 的情况） 数接近于1的情况 比（适用于 数接近于 的情况） ε (3-84) ′ ⋅ gradm′ = 2ρ ⋅ m′ m′ 2D gradm
2
∂φ ∂φ ε P(φ)Γ = P(φ)Γ = P(φ)c4 φ′2 k ∂xi ∂xi
2
(3-78)
表示φ的脉动均方值 φ′2 表示 的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D ∂ k2 ∂ ρ P(φ) = c3ρ P(φ) Dt ∂xi ε ∂xi − ∂ ∂ ε P(φ)S(φ) + c4 ρ φ′2 P(φ) ∂φ k ∂φ
k
fu
ox
′ m′ mox 控制方程中各项的模拟-2 fu
第五项―湍流输运项的模拟： 第五项 湍流输运项的模拟：可以参照常用的 湍流输运项的模拟 梯度模拟准则” “梯度模拟准则” ∂ ∂ ut ∂ ′ ′ (3-84) ui m′ mox = m′ mox fu fu
∂xi ∂xi σ f ∂xi
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 空间位置和变量 的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 模型和PDF输 用RBU模型和 模型和 输 运方程进行计算的结 果大抵相同， 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
平均化学反应速率
Rfu = −Bρ mfu mox exp(−E / RT)[1+ a0
2 2
′ m′ mox fu mfu mox
T′2 T′mox + T′m′ ′ fu + a2 +a1 ] Tmox + Tmfu T
(3-81)
ε
′ 为使该方程封闭， 为使该方程封闭，还需给出以 m′fu2 和 mox2 为因变 量的微分方程
评价
物理思想和推理较清楚 由于需要模化的量的数目增加和完全略去了温 度脉动对燃烧速率的影响， 度脉动对燃烧速率的影响，没有能够达到提高 计算精度的目的。 计算精度的目的。 在该模型的基础上进一步考虑温度脉动对燃烧 速率的影响，建立、 速率的影响，建立、模化并求解以 ′ m0xT， m′ T′和 ′2 为因变量的微分方程，但改进 T 为因变量的微分方程， fu 甚微。 甚微。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 ′ 的二阶关联项 m′fumox 的控制方程
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响， 等人为简化模拟过程 出了在F中的 fu ′ 出了在 中的 m′ mox 的控制方程 ∂ ′ ′ ′ ρui m′fumox = Dl gradm′fumox − 2Dl gradm′fu ⋅ gradmox ∂xi 1 2 3 2µt ′ + gradmfu ⋅ gradmox − gradui′m′ mox fu σf 4 5
第六项： 第六项：可以用简单地略去脉动的三阶关联项 来模拟
′ 模拟后 m′fumox 控制方程
′ ∂mfu ∂mox ∂ ∂ µeff ∂m′ mox fu ′ + c1µeff ρui m′fumox = ∂xi ∂xi σ f ∂xi ∂xi ∂xi ′ −2ρ m′ mox − Bρmfumox exp(E / RT ) fu k ′ m′ mox mox m′2 ′2 fu fu ⋅ (mox + smfu ) + + mfumox mox mfu (3-85)
启示： 启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 特性及边界条件有关。 尝试： 的博士论文(1976年) 尝试：Pope的博士论文 的博士论文 年
单变量概率分布函数输运方程
D ∂ ρ P(φ) = − ρ P(φ)ui Dt ∂xi
气体燃料锅炉内轴上温度分布
不同模型算得的气 体燃料锅炉内轴上 温度分布与实验数 据的对比。 据的对比。 用上述两个模型和 旋涡破碎模型算出 的结果大致相同， 的结果大致相同， 然而本节的两个模 型却要多解好几个 微分方程， 微分方程，这个代 价没有换取到应有 的成功。 的成功。
1--旋涡破碎模型 旋涡破碎模型 2--不计温度脉动 不计温度脉动 3--考虑温度脉动 考虑温度脉动
按照“梯度准则”进行模拟， 按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 ∂ P(φ)ui = −c3 P(φ) ε ∂xi
(3-77)
模化方法
主要与微尺寸的小脉动有关， 因子 Γ(∂φ / ∂xi ) 主要与微尺寸的小脉动有关，而 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 主要受大尺度的大脉动控制， 因子 主要受大尺度的大脉动控制 为这两者不相互关联
′ −Kf [(mox + Smfu )m′ mox + Smox m′2 fu fu ′ ′ +mfu m′ + (mox + Sm′ )m′ mox ] fu fu 6 式中D 表示层流交换系数， 表示化学当量比 表示化学当量比， 式中 l表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
2 ∂φ ∂ ∂ − P(φ)S(φ) + ρ P(φ)Γ ∂φ ∂φ ∂xi
(3-76)
S(φ)是变量 的源或汇 是变量φ的源或汇 是变量 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
PDF→受输运方程控制的因变量
对燃烧现象的更深入的实验研究发现： 对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域， 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。 变量的概率分布函数也不尽相同。
2 ox
(3-83)
′ m′ mox 控制方程中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项的意义 fu
∂ ′ ρui m′fumox 表示因变量的对流速率 第一项 ∂xi 第二项 Dl gradm′fumox 表示该因变量的层流输运 ′
′ Dl gradm′ ⋅ gradmox 表示分子扩散引起的脉动耗散 fu 2µt gradmfu ⋅ gradmox 表示由浓度均值的空间 第四项
§3.3 概率分布函数 的输运方程模型
回顾
湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布， 于双δ函数形的概率分布 于双 函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数 函数分布等形式的概率分布函数
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度） 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope) 分布函数的输运方程
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力， 湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型， 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率， 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？ 模型呢？
启示
依靠增加微分方程的数目， 依靠增加微分方程的数目，以兼顾湍流脉动和 化学动力学因素对湍流燃烧速率的影响， 化学动力学因素对湍流燃烧速率的影响，提高 计算精度是十分困难的。 计算精度是十分困难的。 在模化的思路方面来个根本的变化， 在模化的思路方面来个根本的变化，以摆脱困 境― ESCIMO湍流燃烧理论 湍流燃烧理论
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 设反应机理用单步不可逆反应来表征， 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) Rfu = −Bρ2mfu mox exp(−E / RT ) 经过对因变量m 经过对因变量 fu，mox和T的雷诺分解以及对 的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开， 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量， 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
式中， 式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 ， 。 或把式(3-81)写成 或把式 写成 Rfu = −Bρ2mfumox exp(−E / RT )[1+ F] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响， 对燃烧速率进行模化的困难所在。 对燃烧速率进行模化的困难所在。
不均匀性引起的因变量的净增长率
′ 第五项 gradui′m′fumox 表示因变量的湍流输运
σf
第六项(其余 表示化学反应引起的因变量的变化 第六项 其余)表示化学反应引起的因变量的变化 其余
′ m′ mox 控制方程中各项的模拟-1 fu
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、 为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 六项进行模化。 第三项： 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 适用于Schmit数接近于 的情况） 数接近于1的情况 比（适用于 数接近于 的情况） ε (3-84) ′ ⋅ gradm′ = 2ρ ⋅ m′ m′ 2D gradm
2
∂φ ∂φ ε P(φ)Γ = P(φ)Γ = P(φ)c4 φ′2 k ∂xi ∂xi
2
(3-78)
表示φ的脉动均方值 φ′2 表示 的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D ∂ k2 ∂ ρ P(φ) = c3ρ P(φ) Dt ∂xi ε ∂xi − ∂ ∂ ε P(φ)S(φ) + c4 ρ φ′2 P(φ) ∂φ k ∂φ