5. 二元关系的性质

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设集合A={R|R为对 称的关系}， B={R|R为 反对称的关系}，则A和 B的关系如右图所示：
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例3.5.1(3-6习题的(2)) 给定A={1, 2, 3, 4}，考虑A上的关系R，若 R={<1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}， (a)在AA的坐标图中标出R，并绘出它的关系图； (b) R是i) 自反的，ii)反自反的，iii) 对称的， iv)反 对称的，v) 可传递的吗？ (1)见下图. 解： 1 2 4 3
12
关系图 坐标图 (2)R是反自反、反对称和可传递的；不是自反或 11 对称的.
存在某种关系，既是对称的，又是反对称的吗？ 存在. 例如，
0 1 1 MR 0 0 0 1 0 0
1
2
3
1 0 0 MR 0 1 0 0 0 1
1 2 A B 3 E
关系R既不是对称的，也不是反对称的； “对称”的否定不是“反对称”. 不具备对称性的关系称为非对称 (asymmetric) 关系.
1
2
3
4
2013-10-6
五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
(四) 反自反(irreflexive)性
若对A中的任意x, 有xRx，则称R是反自反的. R是反自反的 (x)(xAxRx) MR主对角元全为0 GR每一结点无自回路. 例如，
反自反(irreflexive)性
一个不是自反的关系，一定就是反自反吗？ 不一定. 例如， 1 0 1 0
A
B
E
例如，
7
0 MR 1 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 1
1 2
4 3
8
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五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
反对称(antisymmetric)性
一个不是对称的关系，一定就是反对称吗？ 不一定. 例如，
反对称(antisymmetric)性
1 2
4 3
“自反”的否定不是“反自反”.
6
五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
反自反(irreflexive)性
设集合A={R|R为自反的关系}， B={R|R为 反自反的关系}，则A和B的关系如下图所示：
(五) 反对称(antisymmetric)性
若对任意x, yA，每当xRy和yRx，必有 x=y，则称R是反对称的. R是反对称的 (x)(y)(xAyA xRy yRx x=y) (i)(j)(i, j{1, 2, …,n}(i j) (aji=1) aij=0) GR中若有a到b的弧，则必没有b到a的弧
2013-10-6
五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
以下设R是集合A上的一个二元关系，讨论 R的几个性质： 自反性； 对称性； 传递性； 反自反性； 反对称性.
(一) 自反(reflexive)性
若对A中的任意x, 有xRx，则称R是自反的. R是自反的 (x)(xAxRx) MR主对角元全为1 GR每一结点有自回路. 例如，设A={1, 2, 3, 4}，R为“ ”，则
五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
例3.5.2 判断以下整数集(Z)上的关系是否自反、反自反、 对称、反对称、传递.
关系 空关系 全域关系 相等关系 同余关系 整除关系 “<”关系 ” ”关系 自反 N Y Y Y Y N Y 反自反 Y N N N N Y N 对称 Y Y Y Y N N N 反对称 Y N Y N Y Y Y 传递 Y Y Y Y Y Y Y3-6习题 HW: (4);(6)
R是对称的 (x)(y)(xAyA xRy yRx) MR是对称矩阵 GR有向边成对出现(若有a到b的弧， 则必有b到a的弧) 3
例如，
0 1 0 MR 1 0 1 0 1 1
1
2
3
0 0 1 0 MR 0 0 0 0 0 0 0 1
0 MR 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
4

1
2
3
5

关系矩阵的主对角元不全为1，所以不是“自反”的； 关系矩阵的主对角元不全为0，所以不是“反自反”的.

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 0 1 0 M R 0 0 0 1 0 0 0 1
1 MR 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 2
4 3
2
1
五、二元关系的性质
五、二元关系的性质
(二) 对称(symmetric)性
若对任意x, yA，每当xRy，就有yRx，则称R是对称的.
(三) 传递(transitive)性
若对任意x, y, zA，每当xRy, yRz，就有xRz， 则称R是传递的. R是传递的 (x)(y) (z)(xAyA zA xRyyRz xRz) GR中若从a到b有一条路径，则从a 到b有一条弧. 例如， 0 1 1 1 4