【专升本 高等数学】§3.3 函数单调性和凹凸性

f ( x) 则函数
在该区间上仍是单增(或单减)的.
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例1. 判定函数 y x sin x 在 [0,2 ]上的单调性.
解 在 (0, 2 )内 y 1 cos x 0
y x sin x 在 [0,2 ] 上单增.
一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或 单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增, 在另一部分区间上单减,
令 f (x) 0 , 得 x1 1, x2 2
(3).以 x1 1, x2 2 为分界点,将定义域分割,列表:
x ( ,1 ) (1,2 ) ( 2, )
f ( x )
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:
(1,2]
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二、函数凸性的判别法
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f ( x) 不存在的点;
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例2.确定函数 解 (1).定义域
f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间.
,
(2). f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
2
2
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
图形下凸
图形上凸
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直观观察
y
y
o
x
曲线下凸
f (x)递增
f (x) 0
o
x
曲线上凸
f (x)递减
f (x) 0
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定理3.3.2 设函数 f ( x)在 [a, b]上连续,在 (a, b) 内具有二阶导数,
(1)若在 (a,b)内 f (x) 0 ，则 f (x)在 [a,b]上曲线是
内可导.
(1).若在 (a,b)内 f (x) 0 , 则 f (x) 在 [a, b]上 单调 增加.
(2).若在 (a,b)内 f (x) 0 , 则 f (x) 在 [a, b]上 单调 减少.
证 (1). 设 x1 , x2 (a, b), ( x1 x2 ) , 应用拉格朗日中值定理
如 f (x) x4 , f (0) 0, 但点 (0,0) 不是拐点.
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例2. 求曲线 y 3 x 的拐点.
解 y 1 , y 2 ,
3 3 x2
9x 3 x2
x 0时,
x 0 时, y 0, 曲线 在 (, 0)内是下凸的.
x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是上凸的.
下凸的；
(2)若在 (a,b)内 f (x) 0，则 f (x)在 [a,b]上曲线是
上凸的。
问题：确定函数在那些区间上图形上凸的，那些区间上图形是下凸的，即求函 数的凸向区间。
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例1.判断曲线
y x3 的凸向
解 y 3x2 y 6x
x 0 时, y 0, 曲线 在 (, 0)内是上凸的. x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是下凸的.
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f ( x) 在区间I上连续，
y f (x1) f (x2 )
若对任意 x1 , x2 I
y
f ( x1 x2 )
•2
•2
•
f ( x1• x2 )
2
o x1
x
x2
f (x1) f (x2 ) 2
o x1
x
x2
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
函数 f ( x)的单增区间,单减区间统称为单调区间.
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y
f (x1) f (x2 ) f (x3) 0 f ( x4 )不存在, f (x5) 0
y f (x)
确定函数单调区间的方法和步骤:
o a x1 x2 x3
x4 x5 b x
(1). 确定函数 y f ( x)的定义域;
(2). 求 f ( x),找使 f ( x) 0 的点(驻点),及使
点 1 , 6 是拐点. 5 53 25
在 (-1/5, )上为下凸的.
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f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1, x2 ) x2 x1 0 f ( ) 0 f (x2 ) f (x1) 0,
即 f ( x1) f (x2 ), 所以 f ( x)在 a,b 上单增.
说明 若 f ( x)在某区间内有限个点处为零,
在其余点处恒为正(或负),
所以,曲线 y 3 x 的拐点是 (0,0).
y不存在.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
1. 求出 f (x), f (x);
2. 找 使 f ( x) 0 的点及 f ( x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
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例3. 求曲线 y ( x 1)3 x2 的拐点及凸向区间.
定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
如例1中,点 (0,0) 是曲线 y x3 的拐点.
y y x3
0•
x
注意 1.若点 (x0, f (x0))是拐点,则 f ( x0 ) 0.或 f ( x不0存) 在
2.由 f ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 ) 0. 或不存在 所确定的点 ( x0, f ( x0 ))未必是拐点.
第三节 函数的单调性与凸性的判别法
一、y函数单调性
y
y f x
f (x) 0
增
0 a x1 x2 b
x
0
y f x f (x) 0
a
x b
y 减
y f x
y
f (x) 0
y f x f (x) 0
0a
b x0 a
bx
1
定理3.3.1 (函数单调性的判定法) 设函数 y=f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b)
解 定义域为: (, )
y
5
2
x3
2
1
x 3,
y
10
1
x3
2
4
x3
2
5x
1
33
9
9
9 3 x4
令 y 0 得 x1 1/ 5, 当 x2 0 时, y不存在.
列表：
x (,1/ 5 ) 1/ 5
y
0
(1/ 5,0) 0
不存在
(0, )
y
有拐点
无拐 点
综上，曲线在 (,1/ 5 ) 为上凸的