电路分析基础-拉普拉斯变换
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如L[果 f(t)]F(s)则 , f(t)的导 f'(t) 数 d(ft)的拉氏 dt
L [f'(t) ]L [dd (tf)]ts(F s)f(0)
可以证明L[： df(dt)] f '(t)estdt
dt
0
f (t)est f (t)(sest)dt
0
0
f (0)s
f (t)estdt
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F(s) f(t)estdt 0
F(s) f(t)estdt 0
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st
称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的F象(s函)数L[。f(记t)作]
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
L[et]e(s)td t 1
0
s
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[et] e(s)td t 1
0
s
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单Fra Baidu bibliotek阶跃函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t e sd t t 1 e s t 1
2j
2
由 前 面 例L 题 [ej得 t ]出1
sj
L[e- jt ] 1
s j
故 L [st] i1 n (11) 1 s j s j 2 js j s j 2 j s 2 2 s 2 2
同L [理 c to ] ： 1 2 s(s 1 js 1 j)s2 s2
2.微分性质
f(t)A1f(t)B2f(t)的象函数为：
F (s) A1 (s F ) B2(s F ),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求 f1(t)si nt和 f2(t)cots的象函数。
根据欧拉 ejt公 c式 ost： jsi nt可得：
sint ejt ejt , costejt ejt
0
导数性质表明拉氏sF变(s)换把f (0原) 函数求导数的运算
转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则
有:
L[f'(t)]sF (s)
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性 质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了 这些性质的具体应用。
用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L [e t] e te sd t t e ( s)tdt
0
0
此积分在s>α时收敛，有：
式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。
注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律
式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即：
f(t) 1 jF(s)estdt
2j j
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，f记(t)作：L1[F(s)]
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质 设函 f1(t)和 数 f2(t)的象函 F 1数 (s)和 F 分 2(s)， 则 别函 为
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
0
0
s 0 s
同理，单位冲激函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t 0 ( t) e sd t e ts ( 0 ) 1
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为：
F(s)L[sint] si ntestdt 0
est
s22(ssi ntcost)0 s22
L [f'(t) ]L [dd (tf)]ts(F s)f(0)
可以证明L[： df(dt)] f '(t)estdt
dt
0
f (t)est f (t)(sest)dt
0
0
f (0)s
f (t)estdt
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F(s) f(t)estdt 0
F(s) f(t)estdt 0
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st
称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的F象(s函)数L[。f(记t)作]
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
L[et]e(s)td t 1
0
s
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[et] e(s)td t 1
0
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求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单Fra Baidu bibliotek阶跃函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t e sd t t 1 e s t 1
2j
2
由 前 面 例L 题 [ej得 t ]出1
sj
L[e- jt ] 1
s j
故 L [st] i1 n (11) 1 s j s j 2 js j s j 2 j s 2 2 s 2 2
同L [理 c to ] ： 1 2 s(s 1 js 1 j)s2 s2
2.微分性质
f(t)A1f(t)B2f(t)的象函数为：
F (s) A1 (s F ) B2(s F ),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求 f1(t)si nt和 f2(t)cots的象函数。
根据欧拉 ejt公 c式 ost： jsi nt可得：
sint ejt ejt , costejt ejt
0
导数性质表明拉氏sF变(s)换把f (0原) 函数求导数的运算
转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则
有:
L[f'(t)]sF (s)
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性 质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了 这些性质的具体应用。
用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
L [e t] e te sd t t e ( s)tdt
0
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此积分在s>α时收敛，有：
式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 换的惟一性。
注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律
式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即：
f(t) 1 jF(s)estdt
2j j
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，f记(t)作：L1[F(s)]
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质 设函 f1(t)和 数 f2(t)的象函 F 1数 (s)和 F 分 2(s)， 则 别函 为
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
0
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s 0 s
同理，单位冲激函数的象函数为
F ( s ) L [( t) ] ( t) e sd t t 0 ( t) e sd t e ts ( 0 ) 1
0
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正弦函数sin ωt的象函数为：
F(s)L[sint] si ntestdt 0
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