浅谈几种积分计算方法

浅谈几种积分计算方法

作者：刘清贵 单位：湖南常德西洞庭一中 职称：中教一级

关键词：不定积分，定积分，被积函数，换元法，分部积分法 摘 要：对几种类型积分的计算方法进行介绍

在高等数学的学习中，积分的计算无疑是一个非常重要的内容。在进行积分计算时，我们常用的方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法等等。而对于一些特殊的积分，我们往往需要一些比较特殊的方法来进行计算。在本文中，我将谈谈几种特殊积分的计算方法：

㈠ 型的积分

这种类型的积分，如果直接使用一些常规方法，是很难计算出来的，即使能够计算出来，过程也十分繁琐。实际上，在该类积分计算中，灵活使用 的换元，计算将大大简化。

例1： 计算

解：原式=

考虑到

故原式=

⎰++±dx bx x x 11242

例2：计算：

解：略提示：

㈡型的积分

对于该类型的积分，如果分母可以因式分解成：

（A1Sinx+B1Cosx）（A2Sinx+B2Cosx），则计算较简单。如果分母不能加上他因式分解时，可以通过待定系数法进行被积函的分解后再进行相应计算。

例3 计算：

解：∵2Sin2x﹣4Sinx·Cosx+5Cos2x

=1+(Sinx﹣2Cosx)2

=6﹣(2Sinx+Cosx)2

故设：Sinx+Cosx=A(Cosx+2Sinx)+B(2Cosx﹣Sinx)

解之有：A= B=

故原式=

事实上，对于的计算也可以采用

如上的类似方法进行计算：

例4：计算：

解：令：Sinx+Cosx=S(2Sinx+3Cosx)+B(2Cosx－3Sinx)

解元有：A= B=－

故原式

㈢巧化对称式，简化计算：

对于及型的积分与其与之类似的积分，除可以使用配方法结合换元法进行计算外还可以先化为对称式，再直接用公式进行直接计算：

例5：计算：（b＞0)

解：令A=－B=－

则：(x－a)(b－x)=[(x+A)+B][B－(x+A)]

原式=

㈣定积分的回归解法：

有些定积分直接利用牛顿——莱布尼兹公式计算是不能计算的，其中一部分定积分可以恰当的换元或分部积分之后，再利用回归解法求解：例6：证明：若函数f(x)于闭区间[0,1]上连续

则：∫

证明：令t=π﹣x,则f(Sinx)=f(Sin(π﹣t))=f(Sint)

当x=0时，t=π，当x=π时，t=0

代入原式，得：

∫

=π

由于定积分若存在，则与积分变量无关，故即有：