第3章 离散傅里叶变换(DFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
延拓序列R4((n))4的频谱特性，因为R4((n))4是一个直流
序列，只有直流成分（即零频率成分）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
4=4δ(k)。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长
kn 序列， 但由于 WN 的周期性， 使X(k)隐含周期性， 且
周期均为N。 对任意整数m， 总有
解: 设变换区间N=4，则
X (k ) x(n)W
n 0 3 kn 4
e
n 0
3
j
2π kn 4

1 e j2πk 1 e
2π j k 4
e
3 j k 4
k 0 4 | X ( k ) | 0 k 1, 2,3
sin k k sin 4
k 0,1, 2,3

DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
DFT : X (k ) x(n)WNkn
n0 M 1 n 0
设序列x(n)的长度为M
M 1
0 k N-1
n
M是序列长度
ZT
: X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z
j M 1 n0 j n
N ( n) x
i
x(n iN )
j DFT与DTFT关系： X (k ) X (e )
DFT与DFS的关系：


k N
(k ) R (k ) X (k ) X N (k ) X
i
X (k iN )

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X (k ) X ( z ) z e
X (k ) X (e j ) |
~ 当延拓周期N=4时， x (n) 如图
3.1.2（c）所示。
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
如果x(n)的长度为M，且 ~ x (n) x(( n)) N ，N≥M，则可
写出 ~ x (n) 的离散傅里叶级数表示式
(k ) x (n)W X
~ x ( n)
DFS变换对
~ X (k )
…
0
N 1
…n …
DFT变换对
…
0
N 1
k
主值序列 x(n)
主值序列 X (k )
有限长序列的DFT是有限长的，DFT与DFS无本质区别，DFT 是DFS的主值。
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【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
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图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性
质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.1.1 DFT的定义 1、离散时间、连续频率——序列的傅立叶变换(DTFT) 2、离散时间、离散频率——离散傅立叶级数(DFS) 用计算机进行傅里叶变换运算时，要求 （1）时、频域均为离散的； （2）时、频域的点数均为有限的。

kn ' x((n)) N WN
求和项以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区，则得
Y (k ) W
km N n 0 N 1 N 1
x((n)) N W
kn N
W
km N
n 0
kn km x ( n ) W X (k ) N WN
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
1， 0，
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2.1 线性性质
时域
N1 N2 x3 (n) ax1 (n) bx2 (n)
N
N
N
N max{ N1, N2}
频域
X 3 (k ) aX 1 (k ) bX 2 (k )
K 0,1, 2,..., N 1
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3.2.2 循环移位特性
（1）圆周移位（循环移位）

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对
X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同，
所以DFT的变换结果不同。 上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取 8、16时，X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。 由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT［x(n)］
( n) x
m
x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6) (3.1.7)
(n) RN (n) x ( n) x
N M时
为整数 则
(n) x((n)) N x
((n))N表示对n模N取余，即如果n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M ((n))N=n1 例如， (n) x((n))8 , 则有 N 8, x
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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
习题与上机题
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要
数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
(3.1.10)
(k ) 的主值序列。 即X(k)为 X
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将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比
较可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好
是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 ~ 的主值序列，即 X (k ) X (k ) R N (k ) 。 周期延拓序列频谱由其离散傅里叶级数系数 X (k )确定， 因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱 特性，这就是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
k ( k mN ) WN WN ,
k , m, N
均为整数
所以X(k)满足
( k mN ) n X ( k mN ) x ( n )WN n 0 kn x ( n )WN X (k ) n 0 N 1 N 1
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主值区间，主值序列，周期延拓
变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质 是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现 了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运 算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活 性。
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n 0 N 1 kn N
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
kn x(n)WN n 0
N 1
(3.1.8) (3.1.9)
1 ( n) x N
(k )W X
k 0
N 1
kn N
1 N
kn X ( k ) W N k 0
N 1
其中
(k ) R (k ) X (k ) X N
j 2π k N
k 0,1,, N 1
k 0,1,, N 1
(3.1.3) (3.1.4)
2π k N
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在 单位圆上的N点等间隔采样。
(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区
间［0, 2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意 义。
（2）时/频域循环移位定理
若
DFT [ x(n)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
Fra Baidu bibliotek
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
N 1 n 0 kn N N 1 n 0
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（2）时/频域循环移位定理
若
DFT [ x(n)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
(8) x((8))8 x(0) x (9) x((9))8 x(1) x
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( n) x
m
x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6)
(n) RN (n) x ( n) x
(n) x((n)) N x
证明： Y (k ) DFT[ y (n)]N x((n m)) N RN (n)W x((n m)) N WNkn 令n+m=n′，则有：
Y (k )
N 1 m n m

x((n)) N W
k ( n m ) N
W
km N
N 1 m n m
设变换区间N=8，则
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 n 0 7 3 j 2π kn 8
e
3 j πk 8
π sin( k ) 2 , k 0,1, 2,..., 7 π sin( k ) 8
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第 3ZT 章， 离散傅里叶变换 (DFT) 3.1.2 DFT和DTFT ， DFS的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
~ x ( n)
DFS变换对
~ X (k )
…
0
N 1
…n …
DFT变换对
…
0
N 1
k
主值序列 x(n)
主值序列 X (k )
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
定义： f (n) x((n m)) N RN (n) 称f(n)为x(n)的 m点圆周 (循环)移位序列。 计算循环移位步骤：
ⅰ）将x(n)以N 为周期周期延拓； ⅱ）移位 m点； ⅲ）取主值序列。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.2.1 x(n)及其循环移位过程
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位