利用Matlab求解高等数学(一)

例1、做出函数y=3x-x^3的图像 >>x=-2:0.01:2; >>6=3*x-x.^3; >>plot(x,y) %观察显示结果 说明：（1）x=-2:0.01:2是构造行向量的赋值命令， 其一般形式是first:increment:last 这样构造的行向量的元素成等差数列，first是首项， last是数列的上（下）界，increment是公差。 若公差为1，则可缺省。例如： >>x=0:2:10 x= 0 2 4 6 8 10 >>x=0:5 x= 012345
1 1 1 1 1 . 例2、计算： 2 3 4 5
输入：S=1-1/2-1/3-1/4-1/5 注意：调用上条指令
二、函数介绍 1、求极限的函数是LIMIT，其调用格式如下： LIMIT(F，x，a) LIMIT(F，x) LIMIT(F) LIMIT(F，x，a,’right’) or LIMIT(F，x，a,’left’)
>>limit(1/x,x,0,‘right’) ans= inf >>limit(1/sin(x)) ans= NaN %NaN表示“不存在”
例4、求下列极限
1 1 1 x 2 ex 1 (1) lim( 3 );(2) lim ;(3) lim . x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 3 x
2、求函数的极值点 例：求函数
f ( x) x3 2x 5
在区间（0，2）内的极小值点。 >>f=@(x)x.^3-2*x-5 z=fminbnd(f,0,2) f=@(x)x.^3-2*x-5 plot(x,f(x),’b’,z,f(z),’rp’) axis([0,2,-50,50]) legend(‘f(x)’,’极小点 ’) %输出为 x= 0.8165
>>eval(zhi) ans= -0.5071
dydx= 1/x^3-2*log(x)/x^3
>>dydx2=diff(y,2) dydx2= -5/x^4+6*log(x)/x^4
说明： （1）函数subs(f,old,new)可对符号表达式中的变量进行替换， 即用new替换old字符串；当old=‘x’时，可省略。 （2）用函数eval可将符号表达式转换成数值表达式； 反之，用函数sym可将数值表达式转换成符号表达式。例如： >>p=1.701 p= 1.701 >>sym(p) ans= 1701/1000 在例1中，先用dydx2=diff(y,2)求出了函数的二阶导数， 将它赋给变量dydx2;然后用zhi=subs(dydx2,‘1.5’) 求出了二阶导数函数在x=1.5处的值，它是一个符号表达式， 将它赋给变量zhi;最后用eval(zhi)求出该符号表达式的值。
说明：（1）fplot（‘function’,limits）在limits指定的范围内绘‘function’指定的曲线图。 limits为一向量，指定x轴的范围[xmin,xma]或x轴与y轴的范围[xmin,xmax,ymin,ymax] （2）fplot（‘function’,limits,Linspec）用Linespec参数指定的线型绘function的图形 （3）fplot（‘function’,limits,tol）用tol指定的相对误差容限和Linespec指定的 线型绘function函数指定的曲线图，其默认值为2e-3,即0.2%的精度 （4）fplot（‘function’,limits,tol,Linespec）用tol指定的相对误差容限和 Linespec指定的线型、标记、颜色绘函数的曲线 （5）fplot（‘function’,limits,n）用至少n+1个点绘函数的曲线。 n的默认值为1,最大步长值为（1/n）*(xmax-xmin).
sin x t 1 1 ;(2) lim(1 )3 x ;(3) lim ;(4) lim . x a 2 x xa x 0 x a x x sin x
>>syms x t; >>limit(sin(x)/(-2*x),x,0) ans= -1/2
%syms是符号变量的说明函数进行符号运算时， 需要对符号变量进行说明
如果需要作函数的图像，可直接运行绘图命令fplot,其调用格式如下：
fplot（‘function’,limits） fplot（‘function’,limits,Linspec） fplot（‘function’,limits,tol） fplot（‘function’,limits,tol,Linespec） fplot（‘function’,limits,n）
>>y=‘（1+t/x）^（3*x）’;
%将符号表达式赋给另一个变量时，要用单引号
wenku.baidu.com
>>limit(y,x,inf)
%inf表示“趋向于正无穷”
ans=
exp(3*t)
例3、计算：
(1) lim
sin x t 1 1 ;(2) lim(1 )3 x ;(3) lim ;(4) lim . x a 2 x xa x 0 x a x x sin x
用Matlab求解高等数学中的问题（一）
南昌理工学院 公共教学部 建模组
1、求函数的极限 2、求函数的导数 3、作函数的图像 4、求函数的零点 5、求函数的极值点
一、简单实例
1 1 1 1 1 1 1 例1、计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 .
输入：S=1-1/2-1/3-1/4-1/5-1/6… -1/7-1/8 注意：续行符号“…”
作函数的图像
一、函数简介
作图函数是plot，其调用格式如下： plot(y) plot(x,y) plot(x,y,LineSpec) plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,x3,y3,s3,……) 说明：（1）plot(y)绘出以向量y为纵坐标，y的个元素的下表构成的向量x为 横坐标的二维曲线图，即如果y=[y1,y2,...,ym]’,则plot(y)函数绘出以点（1,y1）, (2,y2),…,(m,ym)为顶点的折线。 （2）plot(x,y)绘出以向量x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线， 这时只要求两向量的长度相等，不要求他们同为行向量或列向量。 （3）plot（x,y,LineSpex）绘出由字符串LineSpec指定的线型、 标记和颜色的折线图。字符串LineSpec由3个字符构成， 第一个定颜色，第2个定标记，第3个定线性。 例如，plot(x,y,’c+:’)的含义是颜色为蓝绿色，标记为“+”，线型为点线。 （4）plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,x3,y3,s3,……)中，s1是x1,y1对应的条件选项； s2是x2,y2对应的条件选项；s3是x3,y3对应的条件选项。 例如，plot(x,y,’y-’,x,y,’go’)的含义是：绘两条重叠的曲线，现行为实线， 颜色为黄色，标记为圈，颜色为绿色。
x y 例4、绘双曲线 1 9 4
在区间[-16，16]上的图形 >>ezplot(‘x^2/9-y^2/4=1’,[-16,16]) 观察其显示结果
2
2
求函数的零点 例：求函数 f ( x) x3 2x 5 在 x 2 附近的零点，并画出函数的图像。
>>f=@(x)x.^3-2*x-5 z=fzero(f,2) x=0:0.1:4 f=@(x)x.^3-2*x-5 plot(x,f(x),’b’,z,f(z),’rp’） axis([0,4,-100,100]) legend(‘f(x)’,’零点’) %输出为 z= 2.0946
例2、设 f ( x) x sin x , 求 f ' ( )
1 tan x
3
>>f=‘x*sin(x)/(1-tan(x))’; >>dydx=diff(f) dydx= sin(x)/(1-tan(x))+x*cos(x)/(1-tan(x))-x*sin(x)/(1-tan(x))^2* (-1-tan(x)^2) >>zhi=subs(dydx,‘pi/3’) zhi= . sin((pi/3))/(1-tan((pi/3)))+(pi/3)*cos((pi/3))/(1-tan((pi/3)))(pi/3)*sin(pi/3))/(1-tan((pi/3)))^2*(-1-tan((pi/3))^2) >>eval(zhi) ans= 4.8709
例2、在-2<x<2,0<y<1.5内绘函数
y e
x2
的图像
>>fplot(exp(-x^2)’,[-2,2,0,1.5]) 观察其显示结果 例3、做函数
y 1 36 x ( x 3)2
的图像
>>fplot(‘1+36*x/(x+3)^2’,[-15,15,-15,15]) 观察其显示结果
如果需要做隐函数或参数方程表示的函数的图像， 则可调用符号函数绘图命令ezplot,其调用格式为：
ezplot(f) ezplot(f，[min,max]) ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) ezplot(x,y) ezplot(x,y,[tmin,tmax])
说明：（1）ezplot(f)表示在默认区间[-2pi,2pi]内绘制函数f=f(x)的图形， 或在区域[-2pi,2pi;-2pi,2pi]内绘隐函数f(x,y)=0的图形，这时默认的自变量为x. （2）ezplot(f，[min,max])表示区间[min,max]绘制函数f=f(x)的图形， 或在区域[min,max;min,max]内绘制隐函数f(x,y)=0的图形 （3）ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在区域[xmin,xmax,ymin,ymax] 内绘制隐函数f(x,y)=0的图形 （4）ezplot(x,y)表示在区间0<t<2pi内绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的图形， 这时默认的自变量为t. （5）ezplot(x,y,[tmin,tmax])表示在区间[tmin,tmax]上绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的图形
说明：（1） LIMIT(F，x，a)求函数F当xa时的极限 （2）LIMIT(F，x)求F中的自变量趋于a时的极限 （3）LIMIT(F)求F中的自变量趋于0时的极限 （4）LIMIT(F，x，a,’right’) or LIMIT(F，x，a,’left’) 求F当xa时的右极限或右极限
(1) lim 例3、计算：
>>syms x >>limit(1/(x+1)-1/(x^3+1),x,-1) ans= NaN >>limit((sqrt(x+1)-2)/(x-3),x,1) ans= -1/2*2^(1/2)+1 >>limit((exp(x)-1)/x,x,0) ans= 1
求函数的导数
一、函数的介绍
求导数函数是diff，其调用格式如下： diff(y) diff(y,‘x’) diff(y，N) diff(z,‘x’，N) 说明：（1）diff(y)求函数y的导数 （2）diff(y,‘x’)对函数y关于自变量x求导数 （3）diff(y,N)求函数y的N阶导数 （4）diff(z,‘x’，N)求函数z关于x的N阶偏导数， 用它来求隐函数的导数
例1、已知
y
ln x x2
求y的一阶导数，二阶导数， 并计算y的二阶导数在x=1.5处的值。 >>zhi=subs(dydx2,‘(1.5)’)
>>syms x,y; y=‘log(x)/x^2’; >>dydx=diff(y)
zhi= -5/(1.5)^4+6*log((1.5))/(1.5)^4