自动控制理论—数学模型

根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： fx kx F m x 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
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相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]： 1、相似系统和相似量： 我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全 一样的。
L
R
i
C
uo
L
uo
ui
输入 输出
u
di 1 Ri idt ui ① dt C 1 o idt ② C

duo 由②： i C ，代入①得： dt
d 2uo duo LC RC u o ui 2 dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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建立控制系统数学模型的方法 分析法——对系统各部分的运动机理进行分析，物理 规律、化学规律 实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响 应。
输入（已知） 黑匣子
输出（已知）
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数学模型的几种表示方式
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控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统 各元件工作过程中所遵循的物理定理 来进行。例如：电路中的基尔霍夫电 路定理，力学中的牛顿定理，热力学 中的热力学定理等。
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控制系统的微分方程
[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。 解：根据KVL定律
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非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系 统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特 性： （1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输 入引起的输出叠加得到。 （2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变
d 2uo duo LC RC u o ui 2 dt dt
fx kx F m x
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
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控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
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概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。 [线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
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非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应 的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在 经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程 应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大 的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可 在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到 等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y B y f ( x) 若取某一平衡状态为工作点，如下图中 y0 y0 A( x0, y0 ) 的 。A点附近有点 A y0 为 B( x x, y y) ，当x 很小时， AB段可近似看做线性的。 0 x0 x0 x x
数学模型 时域模型 频域模型 复域模型 状态空间模型
频率特性，波特图
1传递函数2 结构图－信号流图
1、微分方程－输入量和状态变量都是连续的 2、差分方程－离散系统
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常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号 流图，频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
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概述
古典控制理论中，采用的是单输入单输出 描述方法。主要是针对线性定常系统，对于 非线性系统和时变系统，解决问题的能力是 极其有限的。
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2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
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本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]： 我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相 互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
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控制系统的微分方程
[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 [解]：图1和图2分别为系 F kx k 统原理结构图和质量块 F 受力分析图。图中，m m m 为质量，f为粘性阻尼系 x f 数，k为弹性系数。 x m fx
图1 图2
ui Ri uc
du c ic dt
duc i C ，代入①得： 由②： dt
du c uc Rc ui dt
①
②
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。 [解]：据基尔霍夫电路定理：
ui