磁流体力学笔记初稿
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∂ ∂t ρ
(
ε+
u2 2
)
[ ( + ∇· uρ ε +
u2 2
)]
1.2
1.2.1
磁流体力学
Biblioteka Baidu动理论矩方程
(− ( ) → − − →) ∂f ∂f q ∂f − → → Boltzmann方程: ∂f + v · + E + v × B = → − → − ∂t m ∂t ∂r ∂v c ´ → → − → 零阶矩：n (t, − r ) =´ f (t, − r ,→ v ) d− v , 粒子数密度 → → → − − 一阶矩：m− u =m f (t, − r ,− v )→ v d→ v , 粒子宏观速度 1.1.2 流体运动的两种描述 ´n ← → − → − → − → − → → → − 二阶矩: P = m f (t, r , v ) ( v − u ) (− v −− u ) d→ v 压强张量 ´ 1. 拉氏：r = r (t, a, b, c)，a, b, c为拉氏变数 2 → − → − → − → − → − → − → − → m 三阶矩: q = 2 f (t, r , v ) ( v − u ) ( v − u ) d− v 热流矢量 着眼点：流体元；流线：流体元的轨迹。 − → → − → − → c =− v −→ u ,− c 为粒子无规运动速度， c = 0 ´ − → → → − − → 1 定义 φ (t, → r ,− v) = n φ (t, − r ,− v ) f (t, → r ,→ v ) d− v 2. 欧拉：u = u (t, x, y, z )；着眼点：空间坐标 ´ ∂f → ∂φ − ∂ φ ∂t d v ＝ ∂t [n φ ] − n ∂t 流线：流场中存在一些曲线，t时刻曲线上任何一点的切 线方向与该点流体的速度速度方向相同，这种曲线称为流 ´ − ∂f → ∂φ − → φ→ v ·∂ d− v = ∂∂ · [n φ − v ]−n ∂ ·→ v → − → − → − r r r 线。 ´ − dy dx dz − → − → ∂φ 流线方程 φ→ a · ∂f − ux = uy = uz = 0 ∂t d v = −n a · ∂ → v du du du , , = 0 均匀场 dx dy dz du 1.2.2 等离子体宏观方程（单液体描述） dt = 0 定常场，此时流线迹线重合 d ∂ = + u · ∇ 随体微商=当地微商 + 迁移微商 dt ∂t → → 1. 连续性方程（令φ (t, − r ,− v ) = 1） 性质：流线互不相交；流管内外流线不会穿越流管 − → ∂n + ∇ · ( n u ) = 0 ∂t 1.1.3 应力张量 ← → Pn = n ˆ· P , n ˆ = (α e ˆx + β e ˆy + γ e ˆz ) ← → P 为应力张量 −p 0 0 ← → ← → 0 −p 0 理想流体： P = −P I = 0 0 −p )← → ← → ← → ( 2 粘滞流体： P = 2η S − p + 3 η ∇ · u − η ∇ · u I 其中， ( ) ( ) ∂ux ∂ux ∂ux 1 ∂ux 1 ∂uz + + ∂y 2 ( ∂x ∂z ) ( ∂x ) 2 ∂x ← → ∂uy ∂uy ∂uy ∂ux 1 ∂uz S = 1 + + ∂y ∂y 2 ∂y ∂z ( ) 2 ( ∂x ) 1 ∂uz ∂uy ∂ux ∂uz 1 ∂uz + + 2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z ∂z 1.1.4 流体力学基本方程 1. 连续性方程 ˝ ‚ ∂ ρdτ = − ρu · dσ ∂t ∂ρ 不可压缩条件 ∂t + ∇ · (ρu) = 0 d ρ + ρ ∇ · u = 0 ∇ ·u=0 dt 2. 运动方程 ˝ ( du ) ˝ ‚ ρ dt dτ = ρg dτ + Pn dσ ← → ρ du dt = ρg + ∇ · P ← → ρ du dt + ρ (u · ∇) u = ρg + ∇ · P ← → 对理想流体有∇ · P = −∇p，故有 ρ du dt = ρg − ∇p 假如为粘滞流体，有 (η ) ρ du dt = ρg − ∇p + 3 + η ∇ (∇ · u) + η ∆u 3. 能量方程 ) ˝ ( ˝ ‚ ‚ d u2 ρ ε + dτ = ρg · udτ + Pn · udσ − q · ndσ dt 2 ( ← ˝ ˝ ˝ →) 右边= ρg · udτ + ∇ · u · P dτ − (∇ · q ) dτ 1 − → − → → 2. 运动方程（令 φ (t, → r ,− v ) = m− v） − → − → ∂ ∂ ∂ [ n φ ] = [ n m v ] = ( mn u) ∂t ∂t ∂t ← → → − − → − → − → P v v = mn + u u (← ) → − → − → − → − → =⇒ ∂∂ · [ n v m v ] = ∇ · P + mn u u → − r (− − ← → − → − − →) ∂ (m→ v) q → → = m I , a = E + u × B → − m ∂v (− → → − →) ∂φ − → − → =⇒ −n a · ∂ → = −nm a = −nq E + − u ×B − v ( ) ´ → − → → m− v ∂f d− v =R ∂t c (→ − ← → − − − →) − → ∂ (n→ u) → → m ∂t + ∇ · P + mn∇ · (− u− u ) − nq E + → u ×B =R → → → → − → ∇ · (− u− u ) = (∇ · − u)− u + (→ u · ∇) − u → → 2 3. 能量方程（令φ (t, − r ,− v)= 1 2 mv ） 3 1 2 2 nT = 2 mn c ´ → 3 1 mv 2 ∂f − 2 2 ∂t d v = 2 nT + [ 2 mnu ] ´ mv 2 ← → − − → − → − → → − → → 3 1 2− v · v d v = ∇ · q + P · u + nT + mnu u 2 2 2 ´ mv2 q (− → − − →) ∂f − → − − → → → d v = −E · j − 2 m E + v × B · ∂→ v ´ mv2 ( ∂f ) − → dv =Q 2 ∂t c (← ) − → − → →− − → → − → 3 dT 1 du2 n + mn + ∇ ρ · u + ∇· q −∇· Π · u − j ·E = Q 2 dt 2 dt 1.2.3
1 磁流体力学
1.1 流体力学
1.1.1 近似与性质 平均自由程ρ 特征长度L 平均碰撞时间 特征时间 性质：易流动性，粘性，不可压缩性
(← → ) = ρg · u+ ∇· P · u −∇· q ( ) (← 2 → ) d ρ dt ε+ u = ρg · u + ∇ · P ·u −∇·q 2
c
∂ 1. 轴对称 ∂θ =0 ∂ (rBr ) z + ∂B ∇·B =0⇒ 1 r ∂r ∂z = 0 1 ∂ψ 1 ∂ψ 令Bz = r ∂r , Br = − r ∂z B=1 ˆθ + Bθ e ˆθ r ∇ψ × e
1.2.4 广义欧姆定律 假定： ← → 1.理想气体 Π = 0 2.电中性ne = ni = n 3.局部热平衡 4.含 m ( e /mi 的项可忽略 )
e me R e
−
(
= −e
1 mi
+
1 me
2
·∇φ q=B = RBφ ，安全因子 θ B ·∇θ 表示磁力线绕小环一周，需要绕大环的圈数
1.5
磁冻结和磁扩散
1、2 Lorentz力；3 热压力；4 Hall电动力；5 电阻效应 ( ) ( C )2 ( ω ) ( ω ) ( C )2 s ce 各项比：1 : 1 : ωω : U ωp ωp U ci ( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ν ω C ω C ei : ω : ω ωci U U p p
e mi R i
2. 环形磁场 1 B=R ∇ψ × e ˆφ + Bφ e ˆφ 1 ∂ψ 1 ∂ψ BR = 2πR ∂z , Bz = 2πR ∂R Bφ θ B · ∇φ = R , B · ∇θ = B r
rB
Re = −νei en (ui − ue ) = −ν j ( ) ∂j ρe mi − me ∂t me mi E + u × B − me mi ej × B ( ) e e −m ∇· m m ρi − ρe − ν j e ( ) i me ∂ j νme 1 ∇Pe + j × B − η j = ne η = 2ne E + u × B + ne 2 ∂t , 2 ) +∇· u·j+j·u =
∂nα ∂t
双流体描述
) +qα nα E + uα × B + Rα (← ) ( ) → d 2 mα nα dt εα + 1 u + ∇ p · u + ∇· q −∇· Π · u −jα E = Qα α α α α 2 α Maxwell方程组： ∑ ∇ · E = ε1 α nα qα α ∇·B =0
s
欧姆定律：j = σ E + u × B ( ) ∂B 2 ∂t = ∇ × u × B + ηm ∇ B, |u×B | |∇×(u×B )| ≈ η ∇×B ≈ |ηm ∇2 B | | m | 1. 磁扩散效应(Rm ∂B 2 ∂t = ηm ∇ B τm =
∂B 磁感应方程：∇ × (E = − ∂t , ) ∇ × B = µj
1 其中，C 光速；U ∼ ωL特征速度；L特征长度；T ∼ ω 特征 ( 2 )1 2 n e eB eB 时间；ωci = m , ωce = m 回旋频率；ωp = mie ε0 等体频 e √ i 率；Cs = γp ρ 声速。 ω ωp ωωce 2 ωp ω ωci ∂j U C ， ∂t 可以忽略 U2 C 2 ，j × B 可忽略：E
) ×B =0
u⊥ × B + ηm ∇ [ ×B = (0 )] 1 ⇒ u⊥ = B 2 µ0 σ B × ∇ × B =
1 B2 σ B
×j
1.3 磁压力和磁张力
磁场作用力 ( ) 1 1 2 f = j × B = − 2µ ∇ B + ∇ · B B µ0 0 ( →) ← → B2 ← 1 = ∇ · µ0 B B − 2µ0 I = ∇ · T ( ← → →) 1 1 2← T =µ B B − B I 2 0 ) ˝ ‚← ‚ ( B2 ) ‚ 1 ( → F = f dτ = ˆ dσ + ˆ dσ T dσ = − 2µ0 n µ0 B B · n
B ∇ × E = −∂ ∂t ∑ E ∇×B = ∂ α nα qα uα ∂t + µα
+ ∇ · (nα uα ) = 0 ( α ) ← → mα nα ∂u ∂t + uα · ∇uα = −∇pα + (∇ · Π α
状态方程：pρ−γ = const. ( ) ← → ← → ← → ← → ρ ∂u u = ρq E + j × B − ∇ · P , P = P i+ P e ∂t + u · ∇ ( ) ´ me mi i Ri = mi νi ∂f dvi = νei ni m (ue − ui ) ∂t e + mi
ηm = =
UL ηm
1 µ0 σ 为磁粘滞系数
UB ηm BL−1
= Rm 磁雷诺数
1) √
+ u × B = ηj ( ) U2 C 2 ，∇pe 可忽略：j = σ E + u × B
τ L2 ηm 为趋肤时间，∆lm = µ0 σ 为趋肤厚度 ∂ 稳态 ∂t = 0 ) ( ( ∇× u × B + ηm ∇2 B = 0, ∇× u × B − ηm ∇
(
ε+
u2 2
)
[ ( + ∇· uρ ε +
u2 2
)]
1.2
1.2.1
磁流体力学
Biblioteka Baidu动理论矩方程
(− ( ) → − − →) ∂f ∂f q ∂f − → → Boltzmann方程: ∂f + v · + E + v × B = → − → − ∂t m ∂t ∂r ∂v c ´ → → − → 零阶矩：n (t, − r ) =´ f (t, − r ,→ v ) d− v , 粒子数密度 → → → − − 一阶矩：m− u =m f (t, − r ,− v )→ v d→ v , 粒子宏观速度 1.1.2 流体运动的两种描述 ´n ← → − → − → − → − → → → − 二阶矩: P = m f (t, r , v ) ( v − u ) (− v −− u ) d→ v 压强张量 ´ 1. 拉氏：r = r (t, a, b, c)，a, b, c为拉氏变数 2 → − → − → − → − → − → − → − → m 三阶矩: q = 2 f (t, r , v ) ( v − u ) ( v − u ) d− v 热流矢量 着眼点：流体元；流线：流体元的轨迹。 − → → − → − → c =− v −→ u ,− c 为粒子无规运动速度， c = 0 ´ − → → → − − → 1 定义 φ (t, → r ,− v) = n φ (t, − r ,− v ) f (t, → r ,→ v ) d− v 2. 欧拉：u = u (t, x, y, z )；着眼点：空间坐标 ´ ∂f → ∂φ − ∂ φ ∂t d v ＝ ∂t [n φ ] − n ∂t 流线：流场中存在一些曲线，t时刻曲线上任何一点的切 线方向与该点流体的速度速度方向相同，这种曲线称为流 ´ − ∂f → ∂φ − → φ→ v ·∂ d− v = ∂∂ · [n φ − v ]−n ∂ ·→ v → − → − → − r r r 线。 ´ − dy dx dz − → − → ∂φ 流线方程 φ→ a · ∂f − ux = uy = uz = 0 ∂t d v = −n a · ∂ → v du du du , , = 0 均匀场 dx dy dz du 1.2.2 等离子体宏观方程（单液体描述） dt = 0 定常场，此时流线迹线重合 d ∂ = + u · ∇ 随体微商=当地微商 + 迁移微商 dt ∂t → → 1. 连续性方程（令φ (t, − r ,− v ) = 1） 性质：流线互不相交；流管内外流线不会穿越流管 − → ∂n + ∇ · ( n u ) = 0 ∂t 1.1.3 应力张量 ← → Pn = n ˆ· P , n ˆ = (α e ˆx + β e ˆy + γ e ˆz ) ← → P 为应力张量 −p 0 0 ← → ← → 0 −p 0 理想流体： P = −P I = 0 0 −p )← → ← → ← → ( 2 粘滞流体： P = 2η S − p + 3 η ∇ · u − η ∇ · u I 其中， ( ) ( ) ∂ux ∂ux ∂ux 1 ∂ux 1 ∂uz + + ∂y 2 ( ∂x ∂z ) ( ∂x ) 2 ∂x ← → ∂uy ∂uy ∂uy ∂ux 1 ∂uz S = 1 + + ∂y ∂y 2 ∂y ∂z ( ) 2 ( ∂x ) 1 ∂uz ∂uy ∂ux ∂uz 1 ∂uz + + 2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z ∂z 1.1.4 流体力学基本方程 1. 连续性方程 ˝ ‚ ∂ ρdτ = − ρu · dσ ∂t ∂ρ 不可压缩条件 ∂t + ∇ · (ρu) = 0 d ρ + ρ ∇ · u = 0 ∇ ·u=0 dt 2. 运动方程 ˝ ( du ) ˝ ‚ ρ dt dτ = ρg dτ + Pn dσ ← → ρ du dt = ρg + ∇ · P ← → ρ du dt + ρ (u · ∇) u = ρg + ∇ · P ← → 对理想流体有∇ · P = −∇p，故有 ρ du dt = ρg − ∇p 假如为粘滞流体，有 (η ) ρ du dt = ρg − ∇p + 3 + η ∇ (∇ · u) + η ∆u 3. 能量方程 ) ˝ ( ˝ ‚ ‚ d u2 ρ ε + dτ = ρg · udτ + Pn · udσ − q · ndσ dt 2 ( ← ˝ ˝ ˝ →) 右边= ρg · udτ + ∇ · u · P dτ − (∇ · q ) dτ 1 − → − → → 2. 运动方程（令 φ (t, → r ,− v ) = m− v） − → − → ∂ ∂ ∂ [ n φ ] = [ n m v ] = ( mn u) ∂t ∂t ∂t ← → → − − → − → − → P v v = mn + u u (← ) → − → − → − → − → =⇒ ∂∂ · [ n v m v ] = ∇ · P + mn u u → − r (− − ← → − → − − →) ∂ (m→ v) q → → = m I , a = E + u × B → − m ∂v (− → → − →) ∂φ − → − → =⇒ −n a · ∂ → = −nm a = −nq E + − u ×B − v ( ) ´ → − → → m− v ∂f d− v =R ∂t c (→ − ← → − − − →) − → ∂ (n→ u) → → m ∂t + ∇ · P + mn∇ · (− u− u ) − nq E + → u ×B =R → → → → − → ∇ · (− u− u ) = (∇ · − u)− u + (→ u · ∇) − u → → 2 3. 能量方程（令φ (t, − r ,− v)= 1 2 mv ） 3 1 2 2 nT = 2 mn c ´ → 3 1 mv 2 ∂f − 2 2 ∂t d v = 2 nT + [ 2 mnu ] ´ mv 2 ← → − − → − → − → → − → → 3 1 2− v · v d v = ∇ · q + P · u + nT + mnu u 2 2 2 ´ mv2 q (− → − − →) ∂f − → − − → → → d v = −E · j − 2 m E + v × B · ∂→ v ´ mv2 ( ∂f ) − → dv =Q 2 ∂t c (← ) − → − → →− − → → − → 3 dT 1 du2 n + mn + ∇ ρ · u + ∇· q −∇· Π · u − j ·E = Q 2 dt 2 dt 1.2.3
1 磁流体力学
1.1 流体力学
1.1.1 近似与性质 平均自由程ρ 特征长度L 平均碰撞时间 特征时间 性质：易流动性，粘性，不可压缩性
(← → ) = ρg · u+ ∇· P · u −∇· q ( ) (← 2 → ) d ρ dt ε+ u = ρg · u + ∇ · P ·u −∇·q 2
c
∂ 1. 轴对称 ∂θ =0 ∂ (rBr ) z + ∂B ∇·B =0⇒ 1 r ∂r ∂z = 0 1 ∂ψ 1 ∂ψ 令Bz = r ∂r , Br = − r ∂z B=1 ˆθ + Bθ e ˆθ r ∇ψ × e
1.2.4 广义欧姆定律 假定： ← → 1.理想气体 Π = 0 2.电中性ne = ni = n 3.局部热平衡 4.含 m ( e /mi 的项可忽略 )
e me R e
−
(
= −e
1 mi
+
1 me
2
·∇φ q=B = RBφ ，安全因子 θ B ·∇θ 表示磁力线绕小环一周，需要绕大环的圈数
1.5
磁冻结和磁扩散
1、2 Lorentz力；3 热压力；4 Hall电动力；5 电阻效应 ( ) ( C )2 ( ω ) ( ω ) ( C )2 s ce 各项比：1 : 1 : ωω : U ωp ωp U ci ( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ν ω C ω C ei : ω : ω ωci U U p p
e mi R i
2. 环形磁场 1 B=R ∇ψ × e ˆφ + Bφ e ˆφ 1 ∂ψ 1 ∂ψ BR = 2πR ∂z , Bz = 2πR ∂R Bφ θ B · ∇φ = R , B · ∇θ = B r
rB
Re = −νei en (ui − ue ) = −ν j ( ) ∂j ρe mi − me ∂t me mi E + u × B − me mi ej × B ( ) e e −m ∇· m m ρi − ρe − ν j e ( ) i me ∂ j νme 1 ∇Pe + j × B − η j = ne η = 2ne E + u × B + ne 2 ∂t , 2 ) +∇· u·j+j·u =
∂nα ∂t
双流体描述
) +qα nα E + uα × B + Rα (← ) ( ) → d 2 mα nα dt εα + 1 u + ∇ p · u + ∇· q −∇· Π · u −jα E = Qα α α α α 2 α Maxwell方程组： ∑ ∇ · E = ε1 α nα qα α ∇·B =0
s
欧姆定律：j = σ E + u × B ( ) ∂B 2 ∂t = ∇ × u × B + ηm ∇ B, |u×B | |∇×(u×B )| ≈ η ∇×B ≈ |ηm ∇2 B | | m | 1. 磁扩散效应(Rm ∂B 2 ∂t = ηm ∇ B τm =
∂B 磁感应方程：∇ × (E = − ∂t , ) ∇ × B = µj
1 其中，C 光速；U ∼ ωL特征速度；L特征长度；T ∼ ω 特征 ( 2 )1 2 n e eB eB 时间；ωci = m , ωce = m 回旋频率；ωp = mie ε0 等体频 e √ i 率；Cs = γp ρ 声速。 ω ωp ωωce 2 ωp ω ωci ∂j U C ， ∂t 可以忽略 U2 C 2 ，j × B 可忽略：E
) ×B =0
u⊥ × B + ηm ∇ [ ×B = (0 )] 1 ⇒ u⊥ = B 2 µ0 σ B × ∇ × B =
1 B2 σ B
×j
1.3 磁压力和磁张力
磁场作用力 ( ) 1 1 2 f = j × B = − 2µ ∇ B + ∇ · B B µ0 0 ( →) ← → B2 ← 1 = ∇ · µ0 B B − 2µ0 I = ∇ · T ( ← → →) 1 1 2← T =µ B B − B I 2 0 ) ˝ ‚← ‚ ( B2 ) ‚ 1 ( → F = f dτ = ˆ dσ + ˆ dσ T dσ = − 2µ0 n µ0 B B · n
B ∇ × E = −∂ ∂t ∑ E ∇×B = ∂ α nα qα uα ∂t + µα
+ ∇ · (nα uα ) = 0 ( α ) ← → mα nα ∂u ∂t + uα · ∇uα = −∇pα + (∇ · Π α
状态方程：pρ−γ = const. ( ) ← → ← → ← → ← → ρ ∂u u = ρq E + j × B − ∇ · P , P = P i+ P e ∂t + u · ∇ ( ) ´ me mi i Ri = mi νi ∂f dvi = νei ni m (ue − ui ) ∂t e + mi
ηm = =
UL ηm
1 µ0 σ 为磁粘滞系数
UB ηm BL−1
= Rm 磁雷诺数
1) √
+ u × B = ηj ( ) U2 C 2 ，∇pe 可忽略：j = σ E + u × B
τ L2 ηm 为趋肤时间，∆lm = µ0 σ 为趋肤厚度 ∂ 稳态 ∂t = 0 ) ( ( ∇× u × B + ηm ∇2 B = 0, ∇× u × B − ηm ∇