差分进化算法-DE

G ，如公式(2.11)(2.12)所示。 新的二进制变异个体 uij
G f pij
1 1 e
2b G G G pr 1, j F ( pr 2, j pr 3, j ) 0.5 1 2 F


(2.11)
G 1, if rand () f (pij ) u 0, otherwise G ij
（3）选择算子 DE 采用贪婪选择策略来对种群进行更新，通过比较新生成的试验个体与当 代种群中对应个体的优劣， 选择适应值更优的个体作为子代进入新种群，如公式 (2.3)所示。
p
G 1 i
viG , if f (viG ) f ( piG ) G pi , otherwise
(2.3)
从公式(2.1)可以看出，DE 的变异操作实际上是将两个不同父代个体的差值 加权后加到第 3 个父代个体，从而得到一个新的临时个体。因此，DE 具有很好 的几何意义，如图 2.2 所示。
x2
ui pr1 F ( pr 2 pr 3 )
变异
ui
候选解
pr1
vi
pr2
交叉
pr3
pi
0
图 2.2 DE 个体更新原理示意图
2.1 差分进化算法
差分进化算法（Differential Evolution，DE）和 GA，PSO，ACO 等进化算法 一样， 都是基于群体智能的随机并行优化算法，通过模仿生物群体内个体间的合 作与竞争产生的启发式群体智能来指导优化搜索。DE 特有的记忆能力使其可以 动态跟踪当前的搜索情况，以调整其搜索策略，实现自适应寻优，因此具有较强 的全局收敛性和鲁棒性， 且不需要借助问题的特定信息，适于求解一些利用常规 的数学规划方法所无法求解的复杂环境中的优化问题[69]。 DE 的种群由若干个体组成， 每个个体代表优化问题的一个潜在解。 DE 的优 化机制是根据不同个体之间的距离和方向信息来生成新的候选个体， 实现群体进 化。与其他进化算法类似，DE 采用变异、交叉、选择这三个典型进化算子对种 群进行更新，但不同于传统进化算子，DE 的进化算子有其独到之处。 （1）变异算子 假设种群规模为 NP ，解的维数为 N ，则种群 P
G pr 1 G pr 2
概率模型
uiG
变异个体
G pr 3
概率估计算子
父代个体
图 2.7 MBDE 概率估计算子
由于采用 3 个不同个体的对应比特位进行概率预测，因此就有 8 种 0、1 组 合。从图 2.8 和表 2.1 可以看出，MBDE 的概率估计算子是关于实数变异值对称 的，因此可以实现“0” “1”平衡搜索，避免陷入局部最优。例如，当比特组合 为“101”时，即父代种群中比特“1”多于“0”时，此时为防止陷入局部最优， 子代取“1”的概率不能太大；同理，当比特组合为“010”时，子代取“0”的概 率也不能太大，因此 MBDE 能较好地防止种群陷入局部最优。
i 为个体的索引， N 为个体编码长度；
Step 3：
计算种群中所有个体的适应值，选出最优个体 pb ；
Step 4： 判断是否满足算法停止迭代条件，若是，则终止迭代并输出最优解
pb ，否则继续下面步骤，对种群进行迭代更新；
Step 5： Step 6：
根据概率预测算子生成变异个体 uiG ，即公式(2.11)(2.12)； 将父代个体 piG 与 uiG 进行交叉，即按照公式(2.13)生成二进制试验个 体 viG 作为候选解；
G 示为实数解空间中的一个向量 piG ( piG 1 , pi 2 ,
N
，第 G 代个体 i 可以表
G , piN ) ， i 1, 2,
, N 。DE 的变
异算子为每个个体生成一个对应的临时个体 uiG ，称为“变异个体” 。 如变异公式(2.1)所示，DE 从当代种群中随机选择 3 个个体作为父代个体进 行变异，生成变异个体 uiG 。
Step 7：
选择操作：根据公式(2.3)，比较父代个体 piG 与试验个体 viG 的优劣， 选择优胜者作为新一代个体 piG 1
Step 8：
G G 1 ；转到 Step 4 继续迭代。
图 2.9 MBDE 算法优化流程
(2.12)
G G 其中 prG 1 、 pr 2 、 pr 3 是第 G 代种群中随机选出的 3 个不同的父代个体，F 0
G 是根据概 是缩放因子，b 0 是跨度系数，rand () 是 0, 1 之间的均匀随机数，uij
率向量采样生成的二进制变异位。 如图 2.7 所示，MBDE 根据 3 个不同父代个体的比特分布来预测下一代个 体，一方面可以从父代个体中继承有用的全局信息，另一方面，相对于种群递增 学习算法（Population-based Increasing Learning，PBIL）[83]根据父代种群中所有 个体的分布建立唯一的概率向量导致生成的子代重复率高、多样性差的缺点， MBDE 只选部分父代个体进行概率估计，可以为不同的个体建立不同的概率估 计向量，从而提高种群的多样性，避免由于次优解群集导致的早熟收敛。
u G , if rand () CR j Ir G vij ijG pij , otherwise
(2.2)
G 其中 vij 为候选解 viG 的第 j 维元素；rand () 是 [0,1) 之间的均匀随机数，CR 是
； Ir 是 [1, N ] 之间的随机整数，对于同一个体 0, 1 之间的常数，称为“交叉概率” 的不同维度， Ir 保持唯一。 从公式(2.2)和图 1 可以看出，变异个体 uiG 中至少有一个元素被继承到新的 候选解中，因此，DE 可以较好地保持种群的多样性。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 100,111 010 110
S'(x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 001 0 -F 000,011
101 1-F
0
0.5
1
F
1+F
x
图 2.8 MBDE 概率估计算子（F=2） 表 2.1 不同父代比特组合情况下概率向量的取值
prG 1, j
[83, 84] Algorithm， EDA） 是遗传算法和统计学习的结合， 通过统计学习的手段建立
解空间内个体分布的概率模型， 然后对概率模型随机采样产生新的群体，如此反 复进行，实现群体的进化。 为了克服 DBDE 算法由于 S 函数定义域不对称使得转换之后取 “1” 和 “0”
的概率不对称从而导致算法搜索不平衡，影响算法的优化性能的缺陷，受 EDA 和 DBPSO 算法的启发，本文引入“概率预测分布”的概念，将 EDA 和 DE 算法 结合起来， 同时对 S 函数进行修正， 提出了一种基于概率预测更新机制的改进二 进制 DE 算法（Modified Binary DE，MBDE） 。 2.1.1 算法原理 （1）概率预测算子 MBDE 算法提出了一个 “概率预测算子” 对父代个体的比特分布进行建模， 建立父代个体的概率分布向量 f piG ， 然后利用该概率向量进行随机采样， 生成
uiG piG
r CR j Ir
uiG 1 piG 1
true false
uiG 2 piG 2
false true
… … … … …
G uij
G pij
…… ……
G uiN G piN
false false
G pij
true true ……
G uiN
viG
uiG 1
uiG 2
图 2.1 DE 交叉算子示意图
x1
总的来说， DE 算法的进化流程如图 2.3 所示， 即通过变异算子来探索新解， 利用交叉算子进行局部开发， 利用贪婪选择策略进行保优，使种群向最优区域靠 拢。因此，DE 算法具有较好的全局收敛性。
初始种群 父代 变异 交叉 选择
图 2.3 DE 进化流程
在 DBPSO 算法[80]中，S 函数相对于粒子位置和速度更新的范围是对称的， 通过 S 函数转换之后的概率范围同样也是对称的。因此，DBPSO 算法采用 S 函 数作为实数空间到二进制空间的映射有其合理性。然后，对于二进制编码 DE 算 法而言， 变异算子生成的临时实数变异向量如果作为 S 函数的自变量， 其取值范 围不是对称的，因此，在二进制 DE 算法中直接套用 DBPSO 算法的转换方法显 然是不可行的。 在进化算法中， 父代个体在搜索空间中的分布情况对于生成子代个体，指导 算法向更优区域搜索具有重要意义。分布估计算法（ Estimation of Distribution
G G G uij prG 1, j F ( pr 2, j pr 3, j )
(2.Leabharlann Baidu)
G G G 其中 uij 是变异个体 uiG 的第 j 维元素； prG 1 ， pr 2 ， pr 3 为第 G 代种群中 3 个互
异的个体，并且 r1 r 2 r3 i ； F 是实数常量，称为“缩放因子” ，其取值范围 一般为 F 0, 2 。 （2）交叉算子 在进化算法中，交叉也称为“重组” ，即将多个父代个体按照一定的规则进 行交叉组合，实现局部开采。DE 利用交叉算子生成新的候选解 viG ，称为“试验 个体” 。DE 常用的交叉方式为二项式交叉，如公式(2.2)所示。
0 0 0 0 1 1 1 1
prG2, j
0 0 1 1 0 0 1 1
prG3, j
0 1 0 1 0 1 0 1
uij G
0 -F F 0 1 1-F 1+F 1
f(uij) F=0.5 0.0474 0.0025 0.5000 0.0474 0.9526 0.5000 0.9975 0.9526 F=1.0 0.1192 0.0025 0.8808 0.1192 0.8808 0.1192 0.9975 0.8808 F=2.0 0.2315 0.0025 0.9734 0.2315 0.7685 0.0266 0.9975 0.7685
G uij
0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1
注：0/1 表示可能取 0 也可能取 1
（2）交叉算子 MBDE 算法保留了标准 DE 算法中的交叉算子，不同的是，标准 DE 算法中 交叉操作中个体都是浮点编码的个体，而在 MBDE 算法中，该算子是将二进制
编码的父代个体 piG 与概率预测算子生成的临时变异个体进行交叉，将父代个体 中的有用信息继承到子代个体 viG 中，如公式(2.13)所示。
G , if rand () CR j Ir uij v G pij , otherwise
G ij
(2.13)
（3）选择算子 MBDE 同时也保留了标准 DE 算法的选择算子， 通过贪婪选择将最优个体保 存到新一代种群中，指导算法向最优区域搜索。 2.1.2 算法流程 MBDE 算法利用概率估计算子生成二进制变异个体，利用交叉算子将变异 个体与父代个体进行交叉生成试验个体， 然后根据贪婪选择策略保留试验个体与 父代个体之间的优胜者作为子代个体进入新种群，实现种群的更新，其详细流程 如图 2.9 所示。 Step 1： 设置算法控制参数：交叉概率 CR ，缩放因子 F ，跨度系数 b ，种群 规模 NP ，最大迭代次数 Gmax ；设种群代数计数器 G 0 ； Step 2： 0 0 随机初始化二进制种群 P p10 , p2 , , pi0 , , pNP ，其中 pi0 0,1N ，