巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比

E

D

B

A

C

巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比

我们知道在ABC ∆中，若O 是其重心，则有0=++OC OB OA ，反之亦成立。教学中我们遇到过很多习题，都是有关重心的应用问题，一类求面积比的习题引起笔者的注意。通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。给同学们留下了深刻的印象。思维得到了锻炼。下面是此问题解决的具体过程。仅供参考。

习题1、已知点O 在ABC ∆内部，且有02=++OC OB OA 。 求AOC ∆与AOB ∆的面积比。

解析：如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：

OE OD OB OA ==+2，由题意知OC OB OA 2-=+，

所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得

OAB ABC S S ∆∆=2，AOC ADC ABC S S S ∆∆∆==42，因此AOC ∆与AOB ∆的面积比为1:2

习题2已知点O 在ABC ∆内部，且有032=++OC OB OA ，求BOC ∆与AOB ∆的面积比 解析：把032=++OC OB OA 变形得()

OC OB OC OA +=+2 如图再由平行四边形法则得，点O 在三角形ABC 的中位线DE 上， 且OD EO 2=由平面几何知识得OAB ABC S S ∆∆=2，又因为

OAB BOC AOC S S S ∆∆∆=+且BOC AOC S S ∆∆=2因此OBC ABC S S ∆∆=6

所以BOC ∆与AOB ∆的面积比为1:3

习题3已知点O 在ABC ∆内部，且有042=++OC OB OA ，求OAB ∆与OBC ∆的面积比。 分析：此题与上两题的区别是系数不容易分配，从共线的角度入手很难。而下面的方法恰好弥补了

上述解法的不足

解析：如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为

OE 的四等分点，这样才有042=++OC OB OA 成立，不妨设三角形

ADE 的面积为24，由重心的性质知8===∆∆∆EOA DOE AOD S S S 所以

4,1,2===∆∆∆OAB BOC AOC S S S ，所以OAB ∆与OBC ∆的面积比4:1

通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的猜想 面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：

已知点O 在ABC ∆内部，且有0321=++OC OB OA λλλ不妨设321,,λλλ均大于1

F

则321::::λλλ=∆∆∆OAB OAC OBC S S S

证明：如图：设O 是DEF ∆的重心，那么0=++OF OE OD （重心的向量式） 不妨设OC OF OB OE OA OD 321

,,

λλλ===，由三角形的面积公式得

AOB

S OAB ∠

=

∆，AOB S ODE ∠=∆ 因此

211λλ=∆∆ODE OAB S S ，同理321λλ=∆∆OEF OBC S S ，1

31λλ=∆∆OFD OCA S S ，

又因为OFD OEF ODE S S S ∆∆∆== 所以3212

11332::1

:

1

:

1

::λλλλλλλλλ==

∆∆∆OAB OAC OBC S S S

说明：有了这个结论，我们证明有关内心的向量式O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.特别简单请有心者慢慢体会。