很好的拉普拉斯变换讲解

很好的拉普拉斯变换讲解

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．

例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．

解

．

7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产

生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变化率，即

，

)(t f 0≥t 0

⎰

⎰

∞+-∞

+-∞+-∞+-+

-=-

==

00

][)(][dt

e p

a e p at e

td p

a dt ate

at L pt pt pt

pt

2020

][0p a e p a dt e p

a

pt pt =-

=+

=∞+-∞+-⎰

)

0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨

⎧=≠=.

0,1,0,0)(t t t Q t

t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)

()(lim )()(0-+==

→

所以，当时，；当时，

．

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数． 定义

设

，当0时，的极限

称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数． 当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和

的图形如图7-1和图7-2所示．

显然，对任何，有，所以

．

工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．

例7-2 求的拉氏变换．

0≠t 0)(=t i 0=t ∞

=-=-+=→→)1

(lim )0()0(lim

)0(00t

t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩

⎪⎨

⎧>≤≤<=ε

ε

εδεt t t t ，

，，001

00)(ε→)

(t ε

δ

)

(lim )(0

t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨

⎧=∞≠=0

,0,0)(t t t δ)(t ε

δ)(t δ0>ε1

1

)(0

==

⎰

⎰

∞

+∞

-dt dt t ε

εε

δ1

)(=⎰

∞

+∞

-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δ

解 根据拉氏变换的定义，有

，

即．

例7-3 求单位阶梯函数的拉氏变

换．

解 ，

．

例7-4求指数函数（为常数）的拉氏变换．

解

，即

．

类

似可得

；

．

习题7–1

求1-4题中函数的拉氏变换 1．． 2．． 3．

4．是常数）．

dt

e dt e

dt e

dt e

t t L pt pt

pt

pt

-→∞

+-→-→∞+-⎰

⎰

⎰

⎰

=⋅+=

=

ε

εε

εε

εε

ε

δδ0

1

lim

0lim

)1

lim

()()]([11

lim 1)()1(lim 11lim 1][1

lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→ε

εεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨

⎧≥<=0

,

10,0)(t t t u p

e p dt e dt e

t u t u L pt pt pt

1]1[1)()]([00

=-

=⋅=

=

∞+-∞

+-∞+-⎰⎰)0(>p at

e t

f =)(a dt e dt e

e e L t a p pt

at at

⎰

⎰

∞+--∞+-=

⋅=

)(0

][)(1

a p a

p >-=

)(1

][a p a

p e L at >-=

)

0(][sin 2

2>+=

p p t L ωω

ω)

0(][cos 2

2>+=

p p p

t L ωωt e t f 4)(-=2)(t t f =at

te t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f