中值定理汇总

拉格朗日中值定理 --黄钟民

近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗

日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.

[1]

拉格朗日中值定理：若函数f

满足如下条件：

（i ）

f 在闭区间[,]a b 上连续；

（ii ）

f

在开区间(,)a b 内可导；

则在

(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b a

ξ-=

-.

一、证明

()f x a x >或()

f x a x

<成立（其中0x >） [2]

例：（2007年高考全国卷I 第20题）

设函数

()x x f x e e -=-.

（Ⅰ）证明：

()f x 的导数()'2f x ≥；

（Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞.

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）证明：（i ）当0x

=时，对任意的a ，都有()f x ax ≥

(ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x

--≤

对所有0x

>恒成立.

令()()()00

x x f x f e e G x x x ---==-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()'

00

f x f f x ξ-=

-，即()()'G

x f e e ξξξ-==+，由于

()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.

评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令()()g

x f x ax =-，再分2a ≤和

2a > 两种情况讨论.其中，2a

>又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首先，为什么a 的取

值范围要以2为分界展开.其次，方程()'

0g

x =求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨

论，省去麻烦. 二、证明()()()2(),2a b g

a g

b g b a b a λ+⎛⎫

+-<-> ⎪⎝⎭

成立

例：（2004年四川卷第22题） 已知函数

()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=.

（Ⅰ）求函数

()f x 的最大值；

（Ⅱ）设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫

+-<- ⎪⎝⎭

.

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：依题意，有()'

ln 1g

x x =+

()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+-=--- ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由拉格朗日中值定理得，存在,

,,22a b a b a b λμ++⎛⎫⎛⎫

∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，使得 ()()()()()()''

ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+⎛+⎫--⎛⎫⎛⎫---=-∙=-∙ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()4ln

ln ln ln 2222

b a b b a a b a

b a a a μλ---=∙<∙<∙=-

评注：对于不等式中含有()()(),,2a b g

a g

b g a b +⎛⎫

<

⎪⎝⎭

的形式，我们往往可以把

()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别对()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫

- ⎪⎝⎭

两次运

用拉格朗日中值定理. 三、证明

()()()

1212f x f x x x λ->-成立

[3][4]

例： (2OO6年四川卷理第22题)

已知函数

()()22

ln (0),f x x a x x f x x

=+

+>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：

（１）当0a

≤时，

()()

121

22

2f x f x x x f ++⎛⎫

> ⎪

⎝⎭

（２）当4a

≤时，()()''1212

f x f x x x ->-.

证明：（１）不妨设1

2x x <，即证()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫

->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由拉格朗日中

值定理知，存在12121122,

,,22x x x x x x ξξ++⎛

⎫⎛⎫

∈∈ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

，则12ξξ<且 ()1222x x f x f +⎛⎫

- ⎪⎝⎭()'2122x x f ξ-=∙，

()()'12211122x x x x f f x f ξ+-⎛⎫

-==∙ ⎪⎝⎭

又

'22()2a f x x x

x =-

+， ()

''

3242a f x x x =+-.当0a

≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调

递减函数，故()()''12f f ξξ<从而()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫

⎛⎫

->

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

成立，因此命题获证．

（２）由

()22ln f x x a x x =+

+得，'22()2a

f x x x x

=-+，令()()'g x f x =则由拉格朗日中值定理得：

()()()'1212()

g x g x g x x λ-=-

下面只要证明：当4a ≤时，任意0λ>,都有()'1g λ>，则有()'324g 21a

x x x

=+

->，即证4a

≤时，24a x x <+

恒成立.这等价于证明2

4x x

+的最小值大于4.

由于2

2422x x x x x +=++≥x =时取到最小值，又4a ≤<4a ≤时，32421a

x x

+->恒成立.

所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-. 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往

往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. 四、证明

()()()1212f x f x x x λ->-或()()()

1212f x f x x x λ->-成立

例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数()sin 2cos x

f x x

=

+.

（Ⅰ）求

()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.

（Ⅰ）略；